DM TS - Limites

[inviteb0e4c191]

Bonjour

J'ai un DM à rendre pour la rentrée, mais je bloque sur deux questions d'un exercice, j'ai réussi les deux premières propositions mais après je n'y arrive plus. :/
Voilà l'énoncé, donc c'est un vrai/faux:

A) Si une suite tend vers 0 alors elle est ou bien minorée par 0 ou bien majorée par 0. [là j'ai réussi]

B) Si une suite (Un) est décroissante et minorée par 0 alors elle converge vers 0. [j'ai réussi aussi]

C) Si une suite (Un) est divergente et ne possède aucun terme nul alors la suite (Vn) définie par Vn= 1/Un est convergente.

D) Si une suite (Un) est bornée et est strictement monotone alors elle est convergente.

C'est la C) et la D) que je n'y arrive pas :/ Si quelqu'un pouvait me donner une piste, ce serait sympa. ^^
Merci d'avance de votre aide. :P
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[PlaneteF]

Bonjour,

Tu as répondu quoi pour les 2 premières propositions ?

Cordialement

[gg0]

Connais-tu des exemples de suites divergentes ?

Cordialement.

[inviteb0e4c191]

Voici les réponses que j'ai mis pour les deux premiers:
A) Cette proposition est fausse. On peut par exemple prendre la suite Un=(-1)^n/n. La suite tend vers 0, mais elle est alternée, elle ne se stabilise pas. Elle est donc ni minorée ni majorée par 0.

B) Cette proposition est fausse. Le contre-exemple de la suite Un= (n+1)/n le prouve. En effet, elle est décroissante et positive donc bornée par 0. Cependant, sa limite en +l'infini est égale à 1 donc la suite converge vers 1.


Ensuite comme exemples de suites divergentes je connais, par exemple: Un= n+1, Un= n^2 ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Ensuite comme exemples de suites divergentes je connais, par exemple: Un= n+1, Un= n^2 ....

Ces suites sont effectivement divergentes et plus particulièrement avec limite infinie. Mais connais-tu des suites divergentes dont la limite n'est pas infinie ?

Cdt

[PlaneteF]

Mais connais-tu des suites divergentes dont la limite n'est pas infinie ?

Je veux dire : Suites qui n'ont pas de limite.

Cdt

[inviteb0e4c191]

La suite Un= (-1)^n par exemple ?

[PlaneteF]

La suite Un= (-1)^n par exemple ?

Oui, et dans ce cas que vaut ?

Cdt

[inviteb0e4c191]

Du coup ... la suite n'as pas de limite, vu que Un n'en a pas ? Je suis pas sûre.

[PlaneteF]

Du coup ... la suite n'as pas de limite, vu que Un n'en a pas ? Je suis pas sûre.

Je ne vois pas à propos de quoi tu hésites ?

On a de manière triviale :

La conclusion est immédiate.

Cdt

[gg0]

Si tu as fait le calcul proposé par PlaneteF, tu es sûre. Mais comme tu ne réponds pas à la question ....

[inviteb0e4c191]

Ok, j'ai compris avec le calcul proposé par PlaneteF Du coup la proposition est encore fausse, on déduis à partir du calcul que même si Un est divergente et n'as aucun terme nul, vu qu'au final Vn=Un la série suite est divergente et non convergente.