Analyse combinatoire

[invite89e86b2f]

Bonjour à tous,

Vraiment désolé pour cette bête question, mais j'ai un petit souci avec un calcul combinatoire... Le voici :

"De combien de manière peut-on choisir un groupe de 3 étudiants parmi 15"

J'ai donc essayé la formule du coéfficient binomial (avec les factorielles), mais j'obtiens une réponse bien trop élevée !! Avec le triangle de Pascal, en revanche, j'obtiens la bonne réponse (455). Je ne comprends pas pourquoi

J'ai également un autre exercice du même type :

"De combien de manière peut-on répartir 15 étudiants en 5 groupes de 3 étudiants ?" (Il est entendu que l’ordre des groupes et des étudiants n’a aucune importance, mais que les étudiants sont tous différents.
Peuvent subsister dans la réponse des factorielles et des coefficients binomiaux.)

Là, c'est la réponse du professeur que je ne comprends pas (mais je n'arrive pas à la ré-écrire ici )

Si quelqu'un pouvait m'éclairer, ce serait vraiment super
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[Médiat]

Bonjour,

Difficile de vous dire où vous vous êtes trompé sans voir vos calculs (la réponse est bien 455) ...

Vous pouvez regarder là http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4570545 pour la deuxième question

[danyvio]

mais j'obtiens une réponse bien trop élevée !!

Tu as peut-être obtenu le nombre d'arrangements, qu'il faut diviser par 3! pour obtenir le nombre de combinaisons...

[gg0]

Bonjour

Dans le premier cas, comme on ne sait pas ce que tu as fait avec les factorielles, on ne peut pas t'aider.

Dans le deuxième, il y a une vraie lecture à faire : Comme l'ordre des groupes n'a pas d'importance, si on échange les étudiants d'un groupe avec ceux d'un autre, ça ne change pas le résultat voulu. On va commencer par ne pas en tenir compte, on va placer les étudiants dans cinq groupes, les groupes 1, 2, 3, 4 et 5 : On prend d'abord 3 étudiants dans le groupe 1, ce qui peut se faire de C(15,3)=455 façons. Puis on choisit 3 étudiants pour le groupe 2 , comme il n'en reste que 12, il y a C(12,3) façons, etc. (à toi de finir)
Maintenant on va tenir compte du fait que l'ordre des groupes ne compte pas, qu'une permutation des numéros de groupes donne le même événement (*): Comme il y a 5! permutations, il faut diviser par 5! le nombre trouvé.

Finalement, on peut écrire le résultat ainsi 15!/(5!(3!)^5)

Cordialement :

NB : le système que j'ai employé s'appelle le "principe des bergers" (pour compter le nombre de moutons, on compte les pattes et on divise par 4). ici, on a 5! pattes.
(*) si j'avais commencé par le groupe 3, puis le 5, puis le 1 puis 4 et 2, j'aurais eu la même distribution en 5 groupes. mais c'est une autre distribution dans l'ordre 1, 2, ... puisque les 3 premiers ne sont pas dans le groupe 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

bonjour,
pour la une, tu dois avoir fait une erreur de calcul car c'est l'application directe d'une formule de cours.
pour la 2ème, il faut utiliser et étendre le principe de la première.
si on suppose dans un premier temps que l'ordre des groupes est important, alors dans ce cas.
- on en choisi 3 parmi 15 ( groupe 1)
- puis 3 autres parmi 12 ( groupe 2 )
-etc.....
sauf que l'on peut intervertir les groupes , il faut donc corriger par le nb d'arrangements possibles des 5 groupes.

edit : croisement total.....