equation congruences

[kaderben]

Bonjour

Voici un exo de bac 2016 étranger, je n'ai pas eu de réponse par ailleurs!

a) prouver que 2*2016^(5n+4)+1437^(10n+4) = 0 mod 11 pour tout n entier naturel: aucun problème

b)Résoudre: (E): 7x-3y=8 (x;y) entiers
pgcd(7;3)=1 qui divise 8, donc des solutions
S={3k+8;7k+16, k entier}, aucun problème

c)d=pgcd(x;y), donner les valeurs possibles de d
d divise 8 donc d={1;2;4;8}

d)Si d=4 donner les solutions de (E)
7x'-3y'=2
S={3k+2;7k+4, k entier}

e) donner le couple (x;y) solution de (E) et qui vérifient 2016^(7x)+1437^(3y)=0 mod 11
2016 mod 11=3
1437 mod 11=7, après quelques lignes de calcul j'obtiens:
donc 9^x+2^y=0 mod 11
une solution particulière est (1;1) mais elle n'est pas solution de (E)! Je ne sais pas quoi faire.

Merci pour vos commentaires
-----

[invite184b87fd]

Bonsoir ,

La solution générale de E est donnée par x = 3k +2 et y = 2+7k et doit vérifier 9^x + 2^y = 0(11)
Donc --> 9^(3k+2) + 2^(2+7k) = 0(11)

Essayes de continuer les calculs , je pense que la solution est (17,37)

cdt

[kaderben]

Bonjour

Alors j'ai continué :
9^(3k+2) + 2^(2+7k) = 0(11) équivaut à..
après calcul j'obtiens:
4*3^k + 4*7^k=0 mod 11

La solution (17,37) vérifient bien les deux équations mais est t elle unique ou bien il peut y en avoir d'autres ?
Si oui, j'arrive à mes limites, je ne sais pas trop comment le prouver!

[invite184b87fd]

Pour montrer que la solution est unique tu supposes qu'il y en a deux et tu montres que c'est impossible .
Pour l'équation de congruence tu as que 11 divise 3^k + 7^k car 11 premier avec 4 (th de Gauss) .

cdt

[A voir en vidéo sur Futura]