Convergence d'une suite

[V13]

Bonjour je souhaiterai démontrer que la suite suivante converge :

et

La suite n'est pas monotone donc impossible d'utiliser les théorèmes sur les majorations/monotonies. Je ne suis pas arriver non à trouver un encadrement, pour pouvoir utiliser le th. des gendarmes...

Bref, je suis à court d'idée là.

Merci pour votre aide
-----

[PlaneteF]

Bonjour,

La suite n'est pas monotone (...)

Tout à fait, ... mais qu'en est-il de la sous-suite paire et impaire ?

Cordialement

[V13]

Je voudrais utiliser que des outils de niveau Terminale. Je ne pense pas que les suites extraites fassent parties du programme

Mais merci quand même

[PlaneteF]

Je n'ai pas le programme de Terminale sous les yeux, mais pas sûr qu'il y ait dedans les outils permettant de répondre à ce genre de question.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[V13]

Comment c'est possible de le démontrer en utilisant les suites extraites ?

[PlaneteF]

Ben tu peux dans un premier temps étudier sur la fonction , ... ce qui est très facile. A partir de là tu vas pouvoir montrer très facilement que la sous-suite paire est croissante et majorée, et que la sous-suite impaire est décroissante et minorée. Du coup ces 2 sous-suites convergent, et il est une nouvelle fois très facile de montrer qu'elles convergent vers la même valeur. Conclusion : La suite converge vers cette valeur.

Cdt

[Resartus]

Bonjour,
Comme l'a écrit PlaneteF, on peut calculer un+2 en fonction de un. Ensuite, il faudra démontrer que cette suite est monotone, (soit croissante, soit décroissante, selon d'où on part), et trouver sa limite (le nombre d'or).
On peut scinder la suite un en deux suites u2n+1 et les u2n qui sont des suites convergentes et qui convergent vers la même valeur.
on peut alors conclure que la suite totale est convergente (ce n'est pas très difficile à démontrer, en revenant à la définition de la convergence avec des epsilon).