Question sur la dérivée

[Chmiman]

Bonjour, j'ai une question simple et facile à comprendre mais même mon prof de maths est vague pour répondre. Quand on parle d'une dérivée, avec h qui tend vers 0, moi ce que je comprends c'est que plus h se rapproche de 0 plus la dérivée semble etre une tangente à notre courbe de la fonction que nous avons choisie. Mais moi je dis que si h prenait la valeur 0, même si certains diront qu'ils ne peut pas valoir 0 car on divise par h , mais SI( si on imagine ) que h prenait la valeur 0, ce serait bien cela cette limite où la dérivée est tangente ? En fait j'ai l'impression que dire : Si h prenait la valeur 0, alors on aurait notre dérivée , c'est proscrit, on ne peut pas le dire. Biensur c'est abstrait mais si h valait 0 c'est bien là où notre dérivée existerait ? Plus h se rapproche de 0 plus 2+h tend vers 2, pourquoi ne pas dire que si h valait 0 , 2+h vaut 2 !

Merci de vos réponses
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[gg0]

C'est bizarre, car justement tu dis exactement ce qu'on fait. Pourquoi tant de baratin.
prenons la fonction x-->x²; pour calculer sa dérivée, on considère l'expression :

Dont on voit qu'elle est le coefficient directeur (pente) de la droite qui passe par les deux points de la courbe M(x+h,f(x+h)) et A(x,f(x)) (*); la droite (AM) est une sécante (elle coupe la courbe en deux points distincts (car h est non nul)
Ensuite, on passe à la limite quand h tend vers 0, de deux façons :
* algébrique :

Quand on passe à la limite, 2x+h tend vers 2x, la limite est 2x. On a bien remplacé h par 0, parce que la fonction h-->2x+h est définie pour h=0 et continue en 0. On ne pouvait pas remplacer h par 0 au départ, puisque ça aurait donné une écriture sans signification (fraction avec 0 au dénominateur); mais une fois transformé, on peut : les deux fonctions étant égales partout sauf en 0 ont la même limite en 0 (preuve facile si on apprend un cours sur les limites).
* géométrique : la sécante a une position limite (la tangente), qui donne la direction de la courbe exactement au point A (un objet mobile qui suit la courbe puis est lâché exactement quand il passe par A continuera tout droit en suivant la tangente. Là encore, h est devenu nul, les deux points A et M sont maintenant confondus, on dit même que la tangente coupe la courbe doublement en A (C'est une autre méthode pour trouver les tangentes, avec la notion de racine double).

Finalement, on note (x²)'=2x.

Et tu vois qu'à la fois, h ne pouvait pas prendre la valeur 0, mais qu'on l'a bien remplacé par 0 pour avoir la limite (**)

Cordialement.

(*) M pour point mobile, quand h change, M varie; A est un point fixe ici, car x est fixé, c'est h qui nous intéresse
(**) Pour de nombreux cas de calculs de limites on ne peut pas faire ça, c'est pourquoi il faut apprendre à calculer les limites.