Construction règle-compas

[jossrandal2002]

Bonjour,

OAB est un triangle. Construire C sur [OA( et D sur [OB( tels que AC=CD=DB.

Merci d'aance.
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[Deedee81]

Bonjour,

Quelle est la question ? La manière de procéder ? Qu'est-ce que tu as fait ? Ou est-ce que tu coinces ?

[jossrandal2002]

La question est : Comment construire le point C (ou le point D) car quand on en a un, on a l'autre.

J'ai fait plein de choses, y compris en analytique, mais je n'aboutis à rien.
Je coince sur la solution de ce problème, mais au vu des réponses nombreuses, je ne dois pas être le seul !

PS : je ne vois pas trop l'intérêt de ce genre de réponse. Pour moi, quand on a rien à dire ...

[Deedee81]

Salut,

Je coince sur la solution de ce problème, mais au vu des réponses nombreuses, je ne dois pas être le seul !

J'y ait réfléchi (un peu) et ça ne m'a pas l'air trivial du tout. Doit y avoir un truc tout simple. Dès qu'un de nos maitre à penser (en math) se penchera sur la question, je suis sûr qu'on aura une solution rapidement

Question annexe : elle vient d'où cette question ? Ca ne ressemble pas à une question scolaire, on dirait plutôt une énigme du genre qu'on pourrait trouver dans Tangente par exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ce problème comporte analytiquement 5 équations à 5 inconnues, on peut donc le résoudre numériquement.
Par contre, je n'ai pas de solution règle et compas.

[jossrandal2002]

On note a=OA, b=OB, angle(AOB) = t radians.
On note aussi c la distance OC.

Il y a deux valeurs pour c :
(cos(t)*a-cos(t)*b+(cos(t)^2*a^2-2*cos(t)^2*a*b+cos(t)^2*b^2-2*cos(t)*b*a+2*b*a)^(1/2)+b)/(2*cos(t)-1)
et
(cos(t)*a-cos(t)*b-(cos(t)^2*a^2-2*cos(t)^2*a*b+cos(t)^2*b^2-2*cos(t)*b*a+2*b*a)^(1/2)+b)/(2*cos(t)-1)

Comme toutes les quantités sont constructibles à la règle et au compas, on tient une solution, mais impossible à réaliser concrètement.

Je sais seulement que la « bonne solution » ne nécessite que 7 opérations élémentaires (tracé d'une droite passant par deux points ou tracé d'un cercle de centre donné et passant par n point).
Qui va la trouver ?

[emmane]

Bonsoir, mathématique pour lycée ??? On peut commencer par prendre O(0,0), A(a,0) sans perte de généralité, B(b.cos(t),b.sin(t)), C(c,0) et D(d.cos(t),d.sin(t)).
Le problème se traduit par un système à 2 équations polynomiales AC²=CD² et CD²=DB² à 2 inconnues c et d. Mais la résolution brutale mène à un polynôme de degré 4... donc inexploitable.

[jossrandal2002]

Comme d=b+c-a, cela ramène à une équation du deuxième degré en c, dont j'ai donné les solutions plus haut.

[jossrandal2002]

Bien évidemment, seule la solution inférieure à a convient.
(cos(t)*a-cos(t)*b-(cos(t)^2*a^2-2*cos(t)^2*a*b+cos(t)^2*b^2-2*cos(t)*b*a+2*b*a)^(1/2)+b)/(2*cos(t)-1)

[jossrandal2002]

Bien évidemment, seule la solution inférieure à a convient.

[Pernelle]

Bonjour,

OAB est un triangle. Construire C sur [OA( et D sur [OB( tels que AC=CD=DB.

Merci d'aance.

Bonjour,

J'ai réussi à construire au pifomètre(recette de cuisine) un triangle qui a les qualités demandées

Je n'ai pas construit le triangle OAB en entier
J'ai dessiné la base: [AB] , j'ai tracé une demi-droite [AC) qui fait un angle aigu avec la base [AB].Avec le compas, j'ai pris l'écartement AC, de C j'ai tracé un arc de cercle vers la droite (rayon =AC). A partir de B , j'ai tracé un arc de cercle de même rayon .Les deux arcs de cercle se coupent au point D, donc AC=CD=BD , j'ai tracé [BD), son prolongement coupe [AC en O.Le triangle est complet, et AC=CD=BD

Essayez, dites-moi si mon pifomètre est au point ou s'il faut me blâmer pour avoir fait une recette de cuisine

Pernelle qui s'amuse et...qui réfléchit... pas forcément bien ni de façon maths orthodoxe

[eudea-panjclinne]

Sauf erreur, si on pose x=AC et t =ang(AOB) la double utilisation du théorème d'Al Kashi dans les triangles OCD et OAB donne l'équation du second degré en x :
0=AB²+2x(OA+OB)(cos(t)+1) -2x²cos(t)
Je n'ai pas trouvé de construction géométrique de x, ce qui doit, semble-t-il, exister puisque x est solution d'une équation du second degré.

[eudea-panjclinne]

Voici, sauf erreur, une construction possible moyennant quelques restrictions :
Soit le triangle OAB.
On suppose C sur [OA] et D sur [OB].
On note b=mes(DCB). A note l'angle OAB, B l'angle OBA. x = AC=CD=DB
On note H et K les pieds des hauteurs respectives issues de A et B.

Si on suppose la construction réalisée ainsi, le triangle DCB est isocèle en D.
Le théorème des sinus dans CDB donne : sin(b)/x=sin(180-2b)/CB = sin(2b)/CB
Il vient avec les deux quotients extrêmes CB=2xcos(b).
Le théorème des sinus dans CAB donne : sin (A)/CB=sin(B-b)/x

Les deux résultats précédents donnent :
sin(A)=2 cos(b)sin(B-b)
On transforme dans le second membre les produits en somme : sin(A)= sin(B)+sin(B-2b),
d'où :
sin(B-2b)=sin(A)-sin(B)

on multiplie tout par AB :
ABsin(B-2b)=ABsin(A)-ABsin(B)
Soit L= BK-AH
On construit un cercle de rayon L, centré en B.
On construit l'angle Théta de sinus L/AB.
Théta=B-2b. on en tire l'angle b qui permet de construire C et de trouver x.

[Pernelle]

Bonjour,

Pas besoin de supposer, c'est dit:Construire C sur [OA( et D sur [OB( tels que AC=CD=DB.

Pernelle

[eudea-panjclinne]

C'est parce que j'ai restreint la question initiale en supposant que C et D sont sur les segments respectifs [OA] et [OB] et non sur les demi-droites. Disons que je n'ai pas trop regardé ce qui se passait dans ces cas...

[ansset]

edit : idée fausse

[Pernelle]

edit : idée fausse

Bonjour Ansset,
Vous pouvez préciser votre pensée s'il vous plaît ? Votre message est trop laconique pour que l'on se fasse une idée de l'"idée fausse"?
Mille mercis pour toute précision

Pernelle

[ansset]

peut être tout à l'heure ou demain,
ce fut déjà long à écrire.......

ps : malade en plus en ce moment depuis le début de l'année.....

[Pernelle]

peut être tout à l'heure ou demain,
ce fut déjà long à écrire.......

ps : malade en plus en ce moment depuis le début de l'année.....

Bonjour,

Désolée , je vous souhaite une meilleure santé, prenez soin de vous

Pernelle

[jossrandal2002]

Supposons le problème résolu.
Soit E le point de [OA( tel que OE=OB, obtenu en traçant le cercle (c) de centre O passant par B.
Soit h l'homothétie de centre B et transformant D en O. Soient G=h(C) et F=h(A).
Puisque BD=DC=CA, on obtient BO=OG=GF. Comme (OE) est parallèle à (GF), que OE=GF et que OE=OG, OEFG est un losange.
Il en résulte que FE=EO, donc que F se trouve sur le cercle (c1) de centre E passant par O, donc à l'intersection de (AB) avec (c1).
Puisque FG=FE, G est sur le cercle (c2) de centre F passant par E, donc à l'intersection de (c) et (c2)..
C est donc à l'intersection de (BG) et (OA). D est à l'intersection de (OB) et de la parallèle à OG passant par C.

Donc tracer (c), (c1) et(c2), en déduire E,F et G puis C et D.
Quand on a le choix entre deux points d'intersection, on peut choisir celui que l'on veut, mais les points C et D seront sur les droites (OA) et (OB) et pas nécessairement sur les segments.

[eudea-panjclinne]

Effectivement, joli construction.

J'en ai une autre.
On note (AM,MD) une mesure, à 2Pie près, de l'angle des vecteurs AM, MD.
On suppose C et D appartenant respectivement aux segments [OA], [OB], une mesure de l'angle BOA est noté t et on suppose 0<t<Pie/3.

On construit le triangle isocèle APB extérieur à AOB. et tel que (BP,PA)=3t/2.
Le cercle de centre P passant par A coupe la bissectrice de AOB en M.
L'angle (MD,AM)=t définit D.

Ebauche de Justification :
On suppose la construction réalisée;
Soit RC(A)=D rotation de centre C transformant A en D.
Soit RD(C)=B rotation de centre D transformant C en B.
RDoRC est la rotation de centre M et d'angle Pie-t.
On montre que M appartient à la bissectrice de AOB.
Les triangles AMC, CMD, DMB sont égaux, leurs angles au sommet M sont égaux. En en déduit que (AM,MB)=(Pie-3t)/2 qui est angle inscrit dans le cercle de centre P passant par A...

Je me demande s'il n'y a pas deux solutions, une à l'intérieur du triangle et une à l'extérieur. Ce que suggèrent les deux solutions de l'équation du second degré que j'ai donné plus haut avec une erreur d'ailleurs :
0=AB²+2x(OA+OB)(1-cos(t))+x²(1-2cos(t))

[eudea-panjclinne]

@Jossrandal2002.
Le problème qui se pose, d'une façon générale, avec la géométrie est le suivant " Comment faire pour trouver la solution". La démarche qui conduit à la solution transparait en général mal de la solution elle-même, surtout si celle-ci à été épurée des démarches auxiliaires et parasites qui entrave sa concision et sa clarté.
Comment avez-vous fait pour avoir l'idée d'utiliser l'homothétie de centre B transformant D en O ?