Problème, Suite, première S

[invited320a6d5]

Bonjour, j'ai un DM de maths à rendre pour la rentrée et je n'arrive pas a faire le problème (Ce problème me pose beaucoup de problèmes )

On me dit:
Une boite contient 2 000 allumettes. On les regroupe par paquets de la manière suivant. On place 1 allumette, puis on place 3 allumettes, puis 5 allumettes et ainsi de suite. A la fin, il ne reste plus que 64 allumettes dans la boite.
Combien y a-t-il de "paquets" d'allumettes ? Justifier en utilisant une suite (Un).

Merci si quelqu'un pouvait m'expliquer comment faire.
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[jacknicklaus]

On place 1 allumette, puis on place 3 allumettes, puis 5 allumettes et ainsi de suite.

Enoncé peu clair, on laisse à l'éléve le soin de deviner le "ainsi de suite", c'est lamentable. Avec ces 3 pauvres nombres, on peut construire des tonnes de solutions pour le nombre suivant. Exemples immédiats : 7 (loi en 2*n+1) ou 9 (loi en 2^n +1)
je suppose que c'est 7, et que la forme générale est de retirer les nombres impairs successifs (ca va mieux en le disant).


1) appelle Un le nombre d'allumettes dans la boîte, quand on a fait le paquet numéro n.
U0 = 2000
U1 = U0 - 1 = 1999
U2 = U1 - 3 = 1996
U3 = U2 - 5 = 1991
etc...
écris la loi qui donne U(n+1) en fonction de Un

2) calcule U(n) en fonction de U0 et n. regarde ce qui se passe avec U1,U2,U3 si celà peut t'aider.

3) on te demande de trouver n tel que U(n) = 64. Avec le résultat du 2), ce sera une équation très facile.

[invited320a6d5]

Bonjour,
Pour moi U(n+1)=Un - ((n+1)+n)
Sauf que du coup je n'arrive pas à trouver Un avec U0...

[jacknicklaus]

Oui.

Est-ce que tu as suivi mon conseil de voir ce qui se passe avec les premiers termes ?
U0 = 2000
U1 = 2000 - ??
U2 = 2000 - ??
U3 = 2000 - ??
U4 = 2000 - ??
Les ?? devraient te suggérer une loi, que tu peux facilement démontrer par récurrence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited320a6d5]

Oui c'est bon je viens de comprendre merci beaucoup

Donc: Un=U0-n²

[invite51d17075]

c'est peut être ce que tu as observé, mais l'énoncé te demande aussi de le justifier à l'aide de la suite U(n).
c'est bien si tu l'as fait mais tu ne le mentionne pas.
Cdt

[jacknicklaus]

Un=U0-n²

OUI !
MAIS ! A ce stade, c'est une hypothèse. Tu as calculé U2341657463541 ?

Non ? (tant mieux )

Maintenant, il faut démontrer ton idée.