Irrationalité de 2

[invite5c967f12]

Bonjour , je dois prouver que √2 n'est pas un rationnel...
J'ai d'abord dit que :
Soit a,b appartenant à N
Nous avons 2 = a²/b² avec a étant un entier pair
J'ai ensuite dit que nous avons
a²/b² = 2 [10]
j'ai listé les carrés des entiers compris entre 1;9 sachant que 0² = 0
1;4;9;6;5;6;9;4;1 (modulo 10)
j'ai pas testé , mais la division d'un de ses entier avec un autre est different de 2 modulo 10 ... La fin de ma preuve

1) Pensez vous qu'elle soit juste ?
2) Dans d'autres exos , la correction dit " l'astuce/l'idée est de raisonner modulo un certain nombre ... Mais comment savoir quel entier utilisé au bout moment ... ?

Merci
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[invite5c967f12]

J'ai utilisé un raisonnement par l'absurde en.le supposant rationnel dans le but d'aboutir sur une contradiction

[invite184b87fd]

D'abord il faut prendre a et b premier entre eux et la preuve va aboutir grâce à cela .

Quand tu as a²/b² = 2 tu as donc que a² = 2b² . Et la d'après le Lemme de Gauss , comme a^b=1 tu as que 2 divise a . Je te laisse réfléchir sur pour la suite .

cdt

[gg0]

Bonjour Pedant.

"j'ai pas testé , mais .." une preuve, ce n'est pas l'expression d'une conviction. Teste ....

Cependant ce que tu écris : "a²/b² = 2 [10] " n'a pas de sens (les modulos n'ont un sens que pour les entiers), il faut trouver une écriture entre entiers convenable.

Shezone : Pedant esquisse une preuve il n'en demande pas une autre.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c967f12]

Merci de m'avoir repondu
Gg0 : a² = 2b²
Ou a² - 2b² = 0 [10]
nous avons (sachant a pair )
a² = 4,6 [10]
et
2b² = 2,8,0 [10]
or a² - b² different 0 [10]
donc il y a une contradiction ...

[invite5c967f12]

shezone : avec seulement pour information que a et b sont premier entre eux , je bloque
a²/2 = b²donc b² est impair
Mais malgré cela , b peut etre egale a 1 et a peut etre egale a √2 ...
Sinon , j'ai pensé a utiliser le lemme de Gauss pour montrer que a² divise 2 ... Mais je retombe sur mon résultat précédent

[gg0]

"a² = 4,6 [10] " tu as oublié 0. Les multiples de 10 sont pairs.

"a²/2 = b²donc b² est impair " est aussi un peu n'importe quoi !!
Shezone a presque tout fait, il te suffit de vraiment réfléchir : a²=2b² donne une indication sur a.

[invite184b87fd]

tu obtiens que 2 divises a par le lemme de Gauss car a est premier avec b . Donc a = 2k avec k appartenant aux entiers relatifs . donc a² = 4k² = 2b²

Essayes de poursuivre et de trouver la contradiction.

cdt

[invite5c967f12]

Oui , je pensais pouvoir me passer du 0 mais non
B² est impair car a² est pair et a et b sont premier entre eux
En divisant par 2 , nous avons
2k² = b² et donc le pgcd de a et b n'est pas 1