Démonstration parallélogramme

[invite949a348a]

Bonjour,

Comment démontre-t-on (au niveau collège), que si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors il possède un centre de symétrie (oui oui, je demande bien dans ce sens là )

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

Avec le théorème des milieux des côtés d'un triangle, on montre que les milieux des diagonales sont confondus.

Cordialement.

NB : On ne démontre plus grand chose, au collège.

[invite23cdddab]

On peut utiliser Thalès :

Soit le quadrilatère ABCD avec (AB) et (CD) parallèles. On note O l'intersection des diagonales

Alors, par Thalès "configuration papillon", on a
1) AO/OC = BO/OD = AB/CD
2) AO/OC = OD/BO = AD/BC

On en déduit que BO/OD = OD/BO, d'où OB = OD, ce qui entraine AO = OC ainsi que AB = CD et AD = BC. Les diagonales se coupent donc en leur milieu et les cotés opposés sont de même longueur.

Ensuite on prends un point H sur [AB], et on regarde son symétrique H' par rapport à O. On a alors HO = H'O.

Maintenant, on a HO/H'O = AO/OC = 1, donc par la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AH) et (CH') sont parallèles. Donc, par unicité de la parallèle à (AH) = (AB) passant par D, on a que H' est sur (CD). Et alors, par Thalès, on a que AH = CH'.

Donc, en particulier, H' est sur [CD].

On en déduit alors que l'image de tout point du quadrilatère par une symétrie de centre O est un point de ce quadrilatère : la figure est stable par symétrie centrale de centre O, elle admet donc un centre de symétrie : Le point O intersection des diagonales.


Mais oui, on démontre malheureusement de moins en moins de choses au collège...