Probabilités : le pari des trois sumotoris

[andretou]

Pierre, David et Rachid sont tous les trois aussi gros, et chacun d'eux prétend être le plus lourd ! Avant de se peser, ils décident de faire un pari : ils misent chacun 1 euro, et le plus lourd des trois remporte le pot de 3 euros.
Avant la pesée, Pierre se dit : j'ai 1 chance sur 3 de gagner puisque j'ai autant de chances de gagner que David ou Rachid.
Au même moment, David se dit : j'ai une chance sur 2 d'être plus lourd que Pierre, et une chance sur 2 d'être plus lourd que Rachid, j'ai donc 1 chance sur 4 de gagner.
Rachid quant à lui se dit : j'ai une chance sur 2 d'être plus lourd que le plus lourd d'entre Pierre et David, j'ai donc 1 chance sur 2 de gagner.
A votre avis, qui a tord ?
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[Deedee81]

Peut-être à déplacer en forum ludique.

Au même moment, David se dit : j'ai une chance sur 2 d'être plus lourd que Pierre, et une chance sur 2 d'être plus lourd que Rachid, j'ai donc 1 chance sur 4 de gagner.

Le calcul est faux.

Rachid quant à lui se dit : j'ai une chance sur 2 d'être plus lourd que le plus lourd d'entre Pierre et David, j'ai donc 1 chance sur 2 de gagner.

Idem.

[gg0]

Plus gênant : Il n'y a rien d'aléatoire dans cette épreuve, seulement de la méconnaissance.
Une épreuve aléatoire peut se répéter avec des résultats différents. Si on reprend le pesage plusieurs fois, ce sera le plus lourd qui gagnera, toujours le même (*). Donc rien d'aléatoire, pas de probabilité !

Cordialement.

(*)sauf dans le cas ou ils auraient exactement le même poids, et où seules les erreurs de mesure permettraient de faire une éventuelle différence.

[invite51d17075]

bjr, même en supposant que cela soit mal posé en terme probabiliste,
l'intérêt éventuel est de voir pourquoi David et Rachid raisonnent faux.

Le calcul est faux.
Idem.

Dans le cas de Rachid, c'est évident.
En supposant qu'il y ait équiprobabilité , une comparaison à "un contre un" n'est pas une comparaison à " un vs un groupe".
( sinon, par comparaison, tout les élèves auraient par exemple une chance sur 2 d'être le premier de leur classe )

Dans le cas de David, c'est la multiplication des 1/2 qui est fausse.
car on se retrouve dans le cas d'une proba conditionnelle.
écriture proposée DPR <=> D>P>R
si P(A) est P(D>P) et P(B) est P(D>R)
alors
la probabilité cherchée.
avec P(B|A)=prob B sachant A
sachant A seul implique les 3 seules combinaisons suivantes
DRP ; DPR ; RDP
seules 2 des trois donnent D>R donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6486d7bd]

A votre avis, qui a tord ?

Dans l'absolu, ils ont tord tous les trois, puisque pesant le même poids, il n'y aura pas de gagnant ni de perdant.
La probabilité de gagner est donc factuellement égale à 0.

Du coup, même si on peut penser que le raisonnement de Pierre est juste, Ils est faux, car il devrait prendre en compte dans le raisonnement le fait qu'il y ait une probabilité non nulle qu'on ait affaire à des ex-aequo. (ce qui dépend de la précision de la balance).

[andretou]

Plus gênant : Il n'y a rien d'aléatoire dans cette épreuve, seulement de la méconnaissance.

C'est pourtant aussi le cas d'un tirage à pile ou face : il n'y a là rien d'aléatoire, seulement une méconnaissance des différents paramètres que sont l'impulsion initiale, l'axe et la vitesse de rotation de la pièce, sa masse, son cx, sa trajectoire, la résistance de l'air, etc, etc...

Une épreuve aléatoire peut se répéter avec des résultats différents.

Pas toujours ! (cf le phénomène d'intrication en mécanique quantique : un photon aléatoirement polarisé a systématiquement la même polarisation que le photon intriqué, sans qu'il y ait aucun lien ni aucun échange d'information entre les deux photons)

[invitef29758b5]

Salut

Dans l'absolu, ils ont tord tous les trois, puisque pesant le même poids, il n'y aura pas de gagnant ni de perdant.

Il n' est pas dit qu' ils pèsent le même poids .

[invite6486d7bd]

Il n' est pas dit qu' ils pèsent le même poids .

Sinon ça serait trop évident.

[gg0]

Andretou,

Nier qu'il y a de l'aléatoire dans le jet d'un dé est nier toutes les connaissances actuelles en mathématiques. Dans le jet d'un dé, l'épreuve classique, avec un dé à peu près équilibré, il y a bien de l'aléatoire lié non seulement à la méconnaissance, mais aussi à l'impossibilité de répéter exactement la même expérience. C'est ça le hasard des probas. Alors que celui de ton exercice sera réglé dès qu'on les aura pesés !
Mais tu n'es pas le premier à sortir un énoncé soi-disant mathématique qui n'est que mal pensé.

Ta remarque sur l'intrication montre qu'encore une fois tu alignes des mots sans réfléchir. Ta phrase n'a aucun rapport avec le hasard ou avec les probas.

[andretou]

bjr, même en supposant que cela soit mal posé en terme probabiliste,
l'intérêt éventuel est de voir pourquoi David et Rachid raisonnent faux.

Dans le cas de Rachid, c'est évident.
En supposant qu'il y ait équiprobabilité , une comparaison à "un contre un" n'est pas une comparaison à " un vs un groupe".
( sinon, par comparaison, tout les élèves auraient par exemple une chance sur 2 d'être le premier de leur classe )

Dans le cas de David, c'est la multiplication des 1/2 qui est fausse.
car on se retrouve dans le cas d'une proba conditionnelle.
écriture proposée DPR <=> D>P>R
si P(A) est P(D>P) et P(B) est P(D>R)
alors
la probabilité cherchée.
avec P(B|A)=prob B sachant A
sachant A seul implique les 3 seules combinaisons suivantes
DRP ; DPR ; RDP
seules 2 des trois donnent D>R donc

Merci pour ta rigueur et pour la qualité de ton intervention !
Si maintenant P, D et R faisaient un simple concours de pile ou face au lieu d'un concours de poids, la proba de gagner pour chacun est-elle 1/2 x 1/2 = 1/4 ?

[invite51d17075]

Merci pour ta rigueur et pour la qualité de ton intervention !
Si maintenant P, D et R faisaient un simple concours de pile ou face au lieu d'un concours de poids, la proba de gagner pour chacun est-elle 1/2 x 1/2 = 1/4 ?

autant, j'ai pris ton premier énoncé comme probabiliste avec supposition d'équiprobabilité, autant je ne comprend pas celui là.
qui "gagne" et "comment" ???

[andretou]

autant, j'ai pris ton premier énoncé comme probabiliste avec supposition d'équiprobabilité, autant je ne comprend pas celui là.
qui "gagne" et "comment" ???

On va dire que P et D jouent d'abord à pof, puis D et R, et enfin P et R. A chaque fois il y a un gagnant et un perdant, et celui qui a deux victoires remporte le pot...

[gg0]

Tu vois Ansset : Tu as essayé de donner un sens à l'énoncé absurde de Andretou, il n'a rien compris !! En fait il ne t'a pas lu, il essaye seulement de trouver une décale pour retrouver ses 1/2. Il n'a même pas réfléchi à ce que c'est que "pile ou face" quand il y a trois joueurs, il parle; il parle ...

Bon courage si tu veux vraiment continuer ... Cordialement.

[invite51d17075]

On va dire que P et D jouent d'abord à pof, puis D et R, et enfin P et R. A chaque fois il y a un gagnant et un perdant, et celui qui a deux victoires remporte le pot...

1/4 de chance chacun + 1/4 sans gagnant ( 1 victoire chacun )

[andretou]

Andretou,

Nier qu'il y a de l'aléatoire dans le jet d'un dé est nier toutes les connaissances actuelles en mathématiques. Dans le jet d'un dé, l'épreuve classique, avec un dé à peu près équilibré, il y a bien de l'aléatoire lié non seulement à la méconnaissance, mais aussi à l'impossibilité de répéter exactement la même expérience. C'est ça le hasard des probas. Alors que celui de ton exercice sera réglé dès qu'on les aura pesés !

Je crois qu'il y a un malentendu : un jeu de dés, un tirage à pile ou face, ou une perturbation météo, sont des enchaînements déterministes de causes et d'effets qui ne font qu'obéir à des lois physiques (en l'occurrence la mécanique et la thermodynamique) sans rien devoir au "hasard". Comme tu l'as justement indiqué, le mot hasard désigne seulement notre méconnaissance des choses.
Et les mathématiques quant à elles nous permettent notamment de "cerner" ce hasard.

[invite51d17075]

edit : précision inutile.

[invite9dc7b526]

Pour la question du poids des sumos, il faut la modéliser comme ça: on a 3 variables indépendantes de même loi X, Y et Z. On peut voir que Prob(X>max(Y,Z))=1/3. On n'a pas 1/4 parce que les événements X>Y et X>Z ne sont pas indépendants.

[invite8a1b1525]

Bonjour

Pour la question du poids des sumos, il faut la modéliser comme ça: on a 3 variables indépendantes de même loi X, Y et Z. On peut voir que Prob(X>max(Y,Z))=1/3. On n'a pas 1/4 parce que les événements X>Y et X>Z ne sont pas indépendants.

Personnellement, je modéliserai la situation par : on a trois sumos dont un est le plus gros (pas de poids égaux...). On affecte trois lettres à ces 3 sumos (loi uniforme), la probabilité que X soit supérieur à Y et Z est 1/3 car c'est la probabilité d'affecter X au plus gros sumos.

[andretou]

D'une manière générale, qu'est-ce qui fait que l'on doit utiliser les proba conditionnelles ou pas ?
A priori, il n'y a pas beaucoup de différences entre un jeu de hasard basé sur le poids, et un jeu de hasard basé sur un tirage à pile ou face. La seule différence est-elle la possibilité de match nul dans le cas du tirage pof ?

[invite6486d7bd]

D'une manière générale, qu'est-ce qui fait que l'on doit utiliser les proba conditionnelles ou pas ?
A priori, il n'y a pas beaucoup de différences entre un jeu de hasard basé sur le poids, et un jeu de hasard basé sur un tirage à pile ou face. La seule différence est-elle la possibilité de match nul dans le cas du tirage pof ?

Il me semble que la différence entre les deux c'est que dans un cas on a affaire à des variables aléatoires discrètes pour les dés et à des variables aléatoires continues pour le poids.

La variable aléatoire réelle la plus simple est donnée par le résultat d'un lancer au jeu de pile ou face, qui vaut pile ou face. Un autre exemple simple est donné par le résultat d'un jet de dés, pour lequel les valeurs possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 (si le dé est classiquement cubique). De telles variables aléatoires réelles sont qualifiées de discrètes car elles prennent des valeurs bien séparées.

A contrario, la mesure de la taille d'un individu pris au hasard dans une population ressemble davantage à un nombre réel positif (cela n'est pas tout à fait vrai non plus, car des questions ergonomiques rendent d'autant plus improbable l'énoncé d'un nombre qu'il comporte de décimales significatives ; l'attracteur est en fait un fractal). Cette variable aléatoire réelle est alors qualifiée par convention de continue. L'étude de la répartition des valeurs prises par une variable aléatoire conduit à la notion de loi de probabilité.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Variab...re_r%C3%A9elle

[invite51d17075]

Il me semble que la différence entre les deux c'est que dans un cas on a affaire à des variables aléatoires discrètes pour les dés et à des variables aléatoires continues pour le poids.

non, cela n'a rien à voir.
dans le premier cas, on peut pas dissocier les comparaisons ( elles ne sont pas indépendantes )
dans le second , chaque "pari" est indépendant des autres.

[invite8a1b1525]

... et si on continuait l'histoire : après avoir dit que 1/3 est la proba que X soit le plus gros sumo, si un gars hyper fort arrive et soulève un des deux autres sumos (Y ou Z) en affirmant "en effet, ce n'est pas lui qui est le plus gros", alors quelle est la proba que X soit effectivement le plus gros ?

[invite51d17075]

demande de précisions , cher bon prof....
1) Il n'en soulève qu'un seul ?
2) pourquoi Y ou Z ? comprend pas non plus sur quel critère il en exclus un
ps : je suppose que tu veux dire "lourd" et pas "gros".

[invited3a27037]

Bonjour

Reprenons en changeant un peu l'énoncé.

On tire au sort 3 nombres compris entre 0 et 1 et on les attribue à Pierre, David et Rachid. Le garçon qui obtient le plus grand nombre gagne. Il n'y a pas d'égalité possible.

Evidemment chaque garçon a une probabilité 1/3 de gagner.

Pierre peut se dire qu'il va d'abord affronter David et qu'il a une proba de gagner ce match de 1/2 puis qu'ensuite il va affronter Rachid avec encore une proba de victoire de 1/2 et qu'au final il a une proba d'être le grand vainqueur de 1/2*1/2 = 1/4. Ce raisonnement est faux car s'il gagne le 1er match (proba 1/2 ça c'est correct) c'est qu'il détient vraisemblablement un "bon" nombre, et la proba qu'il gagne le 2 ème match contre Rachid est supérieure donc à 1/2. (elle vaut 2/3)

Pierre peut aussi penser que David et Rachid vont d'abord s'affronter et que lui même affrontera le vainqueur, et qu'il a donc une proba 1/2 d'être le grand vainqueur. C'est également faux car il va affronter un vainqueur, donc quelqu'un qui détient vraisemblablement un "bon" nombre, et la probabilité qu'il le batte est inférieure à 1/2 (elle vaut 1/3)

[invite8a1b1525]

demande de précisions , cher bon prof....
1) Il n'en soulève qu'un seul ?
2) pourquoi Y ou Z ? comprend pas non plus sur quel critère il en exclus un
ps : je suppose que tu veux dire "lourd" et pas "gros".

je faisais (comme je peux) une référence à Monty Hall (des trois sumos, quel est le plus gros/lourd, une fois qu'un de deux non-préalablement-choisi a été éliminé) , mais c'était pour blaguer (plus facile d'ouvrir une porte que de soulever un sumo )

[andretou]

dans le premier cas, on peut pas dissocier les comparaisons ( elles ne sont pas indépendantes )
dans le second , chaque "pari" est indépendant des autres.

Pourrais-tu stp développer un peu ?
Que signifie qu'on ne peut pas dissocier les comparaisons dans le cas des pesées ?
Et en quoi les épreuves de PoF sont-elles plus indépendantes que les pesées ?

[andretou]

Bonjour

Reprenons en changeant un peu l'énoncé.

On tire au sort 3 nombres compris entre 0 et 1 et on les attribue à Pierre, David et Rachid. Le garçon qui obtient le plus grand nombre gagne. Il n'y a pas d'égalité possible.

Evidemment chaque garçon a une probabilité 1/3 de gagner.

Pierre peut se dire qu'il va d'abord affronter David et qu'il a une proba de gagner ce match de 1/2 puis qu'ensuite il va affronter Rachid avec encore une proba de victoire de 1/2 et qu'au final il a une proba d'être le grand vainqueur de 1/2*1/2 = 1/4. Ce raisonnement est faux car s'il gagne le 1er match (proba 1/2 ça c'est correct) c'est qu'il détient vraisemblablement un "bon" nombre, et la proba qu'il gagne le 2 ème match contre Rachid est supérieure donc à 1/2. (elle vaut 2/3)

Pierre peut aussi penser que David et Rachid vont d'abord s'affronter et que lui même affrontera le vainqueur, et qu'il a donc une proba 1/2 d'être le grand vainqueur. C'est également faux car il va affronter un vainqueur, donc quelqu'un qui détient vraisemblablement un "bon" nombre, et la probabilité qu'il le batte est inférieure à 1/2 (elle vaut 1/3)

Ce qui est stupéfiant, c'est que Pierre n'a pas la même probabilité de gagner contre David selon que David a joué ou non contre Rachid (Pierre n'a alors pas la même information, mais cette information ne change en rien l'issue de son match contre David) !
Qu'en est-il alors dans le cas où Pierre ignore si David a déjà joué ou non contre Rachid ?

[invite9dc7b526]

Ce n'est en rien stupéfiant. Dans le contexte que tu donnes les probabilités modélisent la connaissance incomplète qu'on a de la réalité (des poids des trois personnes). Si tu sais que A est plus lourd que B et que tu dois évaluer la probabilité que C soit plus lourd que A, tu as une certaine connaissance (A est plus lourd que quelqu'un, donc il a peu de chances d'être parmi les plus légers).

[invite51d17075]

Qu'en est-il alors dans le cas où Pierre ignore si David a déjà joué ou non contre Rachid ?

qu'il l'ignore lui-même ou pas ne change rien à l'affaire.
c'est juste le fait qu'il en soit ainsi.

[invite51d17075]

@andretou:
tu peux d'ailleurs bien comprendre que le 1/4=(1/2)(1/2) ne peut être solution car sinon la totalité des chances serait de 3/4, alors qu'il y en a forcement un plus lourd que les autres.
donc la somme doit valoir 1.