Trois boîtes, une seule gagnante, un choix à faire: probabilités!

[Bigben 007]

Bonjour à tous!

Certains d'entre vous auront peut-être une réponse au problème suivant:

Vous jouez à un jeu d'argent , il vous faut choisir une boîte parmi trois, une seule est gagnante. Nommons les boîtes A, B et C.

On a: A=1/3 B=1/3 C=1/3


Votre choix se porte sur la A. Aucun problème pour l'instant...
Le présentateur vous informe alors que C ne contient rien: avez-vous intêret à changer et à prendre B au lieu de A ?

On a veinement tenté de me convaincre qu'il fallait changer son choix mais toutes les explications fournies me paraîssent discutables.

1)
Je m'explique: selon moi à partir du moment où C est vide alors on a A=1/2 B=1/2 car les 1/3 de C se "répartissent" en deux part égale pour A et B.

A=1/3 + 1/3/2= 1/2 de même avec B.

2) La thèse des changeurs: A=1/3 B=1/3 C=1/3 d'où A=1/3 et (B+C)=2/3

Selon eux si C=0 alors B devient égale à:

B=(B+C)=2/3 d'où l'intêret de changer...

3) Ce qui est en rouge ne semble pas correct, manque de rigueur.
Avec le même raisonnement je démontre que l'on a intêret à garder la même boîte: A=1/3 B=1/3 C=1/3 d'où (A+C)=2/3 et B=1/3

Même raisonnement donne au final: A=2/3 d'où l'intêret de garder la même boîte.


Le problème est dans le raisonnement en rouge, quand l'univers change. Peut-on m'aider à trouver un argument irréfutable contre cette idée que beaucoup de gens croient après la démonstration 2). (Ou m'indiquer si je me trompe)

Merci de votre attention, j'attend juste un raissonement rigoureux à même d'éclairer la question...

Au revoir.
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[invite765732342432]

On a veinement tenté de me convaincre qu'il fallait changer son choix mais toutes les explications fournies me paraîssent discutables.

Je ne vais pas te donner le raisonnement (de peur de faire des erreurs de calcul), mais j'étais comme toi au départ.
Pour m'auto-convaincre, je n'ai aps eu trop de mal: il suffit de faire le test !

Tu peux le faire en programmant ou bien sur excel ou même le faire en vrai... C'est un excellent moyen de se convaincre !

[Thorin]

Expérimentalement, on peut voir qu'il vaut mieux changer son choix.

[invité576543]

Question très classique, en cherchant tu pourras trouves des messages sur le sujet sur FS.

Le plus simple dans ce cas est de faire l'étude exhaustive (le nombre de cas n'est pas très grand!):

A la base, 6 cas, en prenant la première boîte celle choisie, et en considérant que c'est la boîte A la bonne

1: A B C
2: A C B
3: B A C
4: B C A
5: C A B
6: C B A

Les six cas sont équiprobables, d'après les hypothèses. Attention, A n'est pas celle choisie, ni C celle indiquée. (Ce changement de notation est impératif pour ne pas se planter!)

1 ou 2: choix A, B ou C montrée, changer = perte
3 ou 4: choix B, C montrée, changer = gain
5 ou 6: choix C, B montrée, changer = gain

Donc deux cas où changer perd, quatre cas où changer gagne. les six cas étant équiprobables, changer augmente les chances de gain.

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Il y a diverses manières de "sentir" pourquoi cela tombe comme cela. La plus intuitive (pour moi) est que le présentateur donne de l'information sur les deux boîtes restantes, pas sur la boîte choisie. Pour faire son choix il faut qu'il connaisse ce qu'il y a dans ces deux boîtes, pour ne pas prendre celle gagnante si c'est l'une des deux. Parce qu'il n'a pas choisi une boîte, alors celle-ci a une plus grande chance d'être la bonne que les autres.

Autre manière : si on n'a pas tiré la bonne boîte, changer assure qu'on a la bonne. Donc en changeant, on gagne si le choix initial était mauvais, 2 chances sur 3 donc.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite951d3e73]

j'attend juste un raissonement rigoureux à même d'éclairer la question

Je n'ai pas non plus de raisonnement rigoureux, mais j'ai réussi à me convaincre comme ça :

Au début tu as 1/3 de chance de tomber sur la bonne boîte et 2/3 de tomber sur une mauvaise.

Quand on élimine une boîte en disant qu'elle est mauvaise, le jeu change :
Il reste une bonne et une mauvaise boîte.

- En changeant, si tu avais la bonne, tu tombes sur la mauvaise et tu perds.
- Si tu avais une mauvaise, tu tomberas sur la bonne et tu gagnes.

Donc si tu décides de changer de boîte, il te faut en premier choix une mauvaise.

Or, à la base, tu as 2/3 de chance de tomber sur une mauvaise, en changeant donc d'avis, tu as 2/3 de chance de tomber sur une bonne.

Au contraire, à la base tu n'as que 1/3 de chance de tomber sur la bonne, donc 1/3 de chance que ton changement te fasse perdre.

Pour finir, si tu ne changes pas, tu restes en quelque sorte dans le premier jeu, et tu as toujours 1/3 de chance.

[Thorin]

En fait, Bigben 007, ce qui cloche dans ton raisonnement, c'est que tu ne tiens pas compte du fait qu'à partir du moment où le présentateur ouvre une porte, le jeu est "truqué", car celui-ci n'ouvre pas n'importe quelle porte...il ouvre celle (ou une de celles) où il y n'y a rien, et donc, donne une "indication" au joueur.

Réfléchissons un peu :

On choisit une porte.
Si on choisit une porte sans rien, alors, le présentateur ouvrira l'autre porte sans rien, et donc, en changeant, on aura bon. Or, il y a 2 portes qui n'ont rien. Donc ces deux choix mènent, si on change, à gagner.
Ca fait donc 2 choix de départ sur 3 qui mènent à la victoire si on change.

Si on ne change pas, alors, il faut absolument tomber sur la bonne du premier coup...ce qui représente 1 choix sur 3.

[piwi]

Il y a cette page qui est pas mal pour décrire ce qui se passe:
http://xavier.hubaut.info/coursmath/sta/bigdil.htm

Ici un simulateur: http://pagesperso-orange.fr/jean-pau.../3p/index.html

Cordialement,
piwi

[Bigben 007]

Eurêka! Merci à vous tous... j'ai enfin compris!!!
Au début on se dit que c'est illogique puis finalement on en vient à se dire que c'est plus logique comme ça...

Les simulations ne sont pas une preuve mais permette facilement de se rendre compte que mon premier raisonnement est faux.

Juste une vision différente de voir les choses... et BOUM ERROR!!!

On choisit une porte.
Si on choisit une porte sans rien, alors, le présentateur ouvrira l'autre porte sans rien, et donc, en changeant, on aura bon. Or, il y a 2 portes qui n'ont rien. Donc ces deux choix mènent, si on change, à gagner.
Ca fait donc 2 choix de départ sur 3 qui mènent à la victoire si on change.

Si on ne change pas, alors, il faut absolument tomber sur la bonne du premier coup...ce qui représente 1 choix sur 3.

Simple et efficace pour s'en convaincre, même pas besoin de calculs.

Merci, au revoir.

[Thorin]

Ravi que mon explication soit claire^^