Fonction : une seule image

[Seirios]

Bonjour à tous,

Une fonction est, par définition, une entité mathématique qui, à un élément x d'un ensemble X, associe au plus un élément y d'un ensemble Y.

Néanmoins, j'aimerais savoir pourquoi une fonction ne pourrait-elle pas associée plusieurs élément de l'ensemble Y à un élément de X. Après tout, pourquoi ne pas imaginer une fonction qui associerait, à une équation du second degré, la ou les solution(s). Ainsi pourrait-on avoir f(x²=4)=+-2.

Y a-t-il une raison pour l'unicité de l'image d'une fonction, ou bien est-ce simplement une conséquence de la définition ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite1237a629]

Salut,

C'est la définition

Si on prend la fonction x=4, tous les points ont pour image 4, et ça ne s'appelle pas fonction.


Enfin je crois

[Flyingsquirrel]

Salut

Néanmoins, j'aimerais savoir pourquoi une fonction ne pourrait-elle pas associée plusieurs élément de l'ensemble Y à un élément de X. Après tout, pourquoi ne pas imaginer une fonction qui associerait, à une équation du second degré, la ou les solution(s). Ainsi pourrait-on avoir f(x²=4)=+-2.

On pourrait, la fonction serait alors à valeur dans et non dans , l'image de l'équation du deuxième degré est un couple de réels : (-2;+2). Le fait de devoir associer au plus une seule image à un élément de l'ensemble de départ n'est pas vraiment une limitation puisque l'ensemble d'arrivée peut-être défini comme on le veut.

[Seirios]

Exact, je n'y avais pas pensé...
Sinon quelqu'un connaîtrait-il la raison pour laquelle l'unicité de l'image a-t-elle été insérée dans la définition d'une fonction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8bc5b16d]

Exact, je n'y avais pas pensé...
Sinon quelqu'un connaîtrait-il la raison pour laquelle l'unicité de l'image a-t-elle été insérée dans la définition d'une fonction ?

Salut,

pour répondre à ta question, bien que je n'en sois pas sûr, mais c'est simplement pour donner un nom à ce qui est aujourd'hui défini par le mot "fonction".
Une fonction qui aurait la propriété que tu cites, s'appelle en réalité une application, et une fonction n'est autre qu'une application particulière qui est dite injective (c'est-à-dire qui pour chaque élément de l'ensemble de départ associe un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée).

En gros je pense que l'on a voulu simplifier le vocabulaire mathématique, et que l'on a décidé que l'on appellerait fonction une application injective (car en fait on montre plein de propriétés sur les fonctions, ce qui en fait des applications un peu à part, et très utilisées !).

Enfin si quelqu'un peut confirmer

[Seirios]

Une fonction qui aurait la propriété que tu cites, s'appelle en réalité une application, et une fonction n'est autre qu'une application particulière qui est dite injective (c'est-à-dire qui pour chaque élément de l'ensemble de départ associe un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée).

Ce ne serait pas plutôt "pour chaque élément de l'ensemble de départ associe au plus un élément de l'ensemble d'arrivée" ?

Sinon, je ne vois pas l'intérêt d'utiliser des fonctions à la place d'applications...Est-ce que cela a été tout d'abord dans un but scolaire, ou bien est-ce venu des mathématiciens eux-mêmes, qui, en voyant la grande utilisation d'applications injectives, ont décidé d'introduire la notion de fonction ? (Bizarre comme question )

[sailx]

Ce ne serait pas plutôt "pour chaque élément de Est-ce que cela a été tout d'abord dans un but scolaire, ou bien est-ce venu des mathématiciens eux-mêmes

les profs de maths sont eux aussi des mathématicien .
à mon avis, le programme doit plus ou moin suivre l'histoire. (on à "découvert" les fonction avant les application)
On voit des application, en terminale, avec les rotations, translation, homothétie et similitude. (je sais pas si c'est vraiment en rapport)

[invite8bc5b16d]

Ce ne serait pas plutôt "pour chaque élément de l'ensemble de départ associe au plus un élément de l'ensemble d'arrivée" ?

Il ne me semble pas....si j'ai bon souvenir une fonction associe une image à chacun de ses éléments de l'ensemble de départ, aussi appelé ensemble de définition.

Sinon, je ne vois pas l'intérêt d'utiliser des fonctions à la place d'applications...Est-ce que cela a été tout d'abord dans un but scolaire, ou bien est-ce venu des mathématiciens eux-mêmes, qui, en voyant la grande utilisation d'applications injectives, ont décidé d'introduire la notion de fonction ? (Bizarre comme question )

En fait je pense que les fonctions ont été introduites les premières, puis qu'en travaillant sur les ensembles, les mathématiciens ont été amenés à introduire les applications, dont les fonctions n'étaient qu'un cas particulier...et donc on a gardé le terme de fonctions, surtout comme tu dis que d'un niveau pédagogique, c'est plus simple de commencer par les fonctions plutot que directement par les applications je pense...

[Gwyddon]

Il ne me semble pas....si j'ai bon souvenir une fonction associe une image à chacun de ses éléments de l'ensemble de départ, aussi appelé ensemble de définition.



En fait je pense que les fonctions ont été introduites les premières, puis qu'en travaillant sur les ensembles, les mathématiciens ont été amenés à introduire les applications, dont les fonctions n'étaient qu'un cas particulier...et donc on a gardé le terme de fonctions, surtout comme tu dis que d'un niveau pédagogique, c'est plus simple de commencer par les fonctions plutot que directement par les applications je pense...

C'est très exactement le contraire. Une application est une fonction particulière telle que l'ensemble de départ est aussi l'ensemble de définition de la fonction.

[invite8bc5b16d]

C'est très exactement le contraire. Une application est une fonction particulière telle que l'ensemble de départ est aussi l'ensemble de définition de la fonction.

Ah oui c'est bien vrai ça en fait !

Mais alors est-ce que Phys2 a raison

Ce ne serait pas plutôt "pour chaque élément de l'ensemble de départ associe au plus un élément de l'ensemble d'arrivée" ?

ou est-ce qu'une fonction est effectivement injective ?

[Gwyddon]

ou est-ce qu'une fonction est effectivement injective ?

Une fonction est, comme je le dit, plus général qu'une application (même si, dans la pratique, on confonds très souvent ces deux notions car il suffit de changer légèrement l'ensemble de départ, donc la différence n'a pas grand interêt).

Or tu sais bien qu'il existe des applications non injective, donc une fonction n'est pas injective, en général

Nous avions assez récemment discuté de ces notions sur le forum, j'invite tous ceux qui sont intéressés à faire une petite recherche

[Seirios]

C'est très exactement le contraire. Une application est une fonction particulière telle que l'ensemble de départ est aussi l'ensemble de définition de la fonction.

Donc en fait, tel que est une fonction, tandis que tel que est une application ?

C'est dommage qu'on ne nous le fasse pas apprendre au lycée...

[invite1237a629]

Ouaip, c'est ça ^^

Il y a plein de choses intéressantes qu'on pourrait apprendre au lycée ça, ce n'est qu'une ptite partie

[invite8bc5b16d]

Une fonction est, comme je le dit, plus général qu'une application (même si, dans la pratique, on confonds très souvent ces deux notions car il suffit de changer légèrement l'ensemble de départ, donc la différence n'a pas grand interêt).

Or tu sais bien qu'il existe des applications non injective, donc une fonction n'est pas injective, en général

Nous avions assez récemment discuté de ces notions sur le forum, j'invite tous ceux qui sont intéressés à faire une petite recherche

Je pense avoir retrouvé le sujet auquel tu fais allusion, si ça en intéresse d'autres

Cette page là

En plus je me suis rendu compte que j'étais en train de m'égarer sur la définition de l'injectivité, il suffit de prendre f:R->[-1;1] qui à x associe sin(x) pour avoir une fonction clairement pas injective... comme quoi une bonne nuit de sommeil ca aide !

[invite6bfc4d3f]

Salut.

Sinon quelqu'un connaîtrait-il la raison pour laquelle l'unicité de l'image a-t-elle été insérée dans la définition d'une fonction ?

Finalement ça ne répond pas à la question

[Gwyddon]

Bonjour,

Finalement ça ne répond pas à la question

Eh bien il n'y a pas de réponse possible, c'est un peu se demander pourquoi on a défini un camembert comme étant un camembert, si tu vois ce que je veux dire

[invite6bfc4d3f]

En ajoutant une condition supplémentaire on "bride" le concept de fonction alors qu'en mathématiques on voit plutôt une tendance inverse de généralisation. C'est pourquoi je m'attendais à une justification

[God's Breath]

Sinon quelqu'un connaîtrait-il la raison pour laquelle l'unicité de l'image a-t-elle été insérée dans la définition d'une fonction ?

Dans la théorie des ensembles, on définit la notion de correspondance entre deux ensembles et : c'est un triplet où est un sous-ensemble du produit cartésien . On dit alors qu'un élément de correspond à un élément de lorsque .
Dans ce cadre, plusieurs éléments de peuvent correspondre à un même élément de , et un même élément de peut correspondre à plusieurs éléments de .
Si l'on a deux correspondances et , on peut définir la correspondance composée par , et la correspondance réciproque par .

Jean Bouteloup a publié une petite note Correspondances entre deux ensembles dans la R.M.S. de février 1981.

Certaines correspondances, dont les propriétés ont, dans le développement historique des mathématiques, paru particulièrement importantes, ont été étudiées de façon plus détaillées et ont eu le privilège de se voir doter d'appellations contrôlées.

Par exemple :
1. Les relations d'équivalences sur un ensemble , correspondances qui satisfont :
(i)
(ii)
(iii)

2. Les relations d'ordre sur un ensemble , correspondances qui satisfont :
(i)
(ii)
(iii)

3. Les applications d'un ensemble dans un ensemble , correspondances qui satisfont :
(i)
(ii)
La seconde propriété exprime l'unicité de l'élément de correspondant à un élément de , que l'on note alors .
La première propriété assure que tout élément de a une image par ; lorque ce n'est pas réalisé, mais que la seconde propriété vaut, certains auteurs disent alors que est une fonction, et appellent ensemble de définition de l'ensemble des éléments de qui ont une image par .
D'autres auteurs, parmi lesquels N. Bourbaki, ne donnent pas de nom particulier à ce type de correspondance, et considèrent que fonction et application sont deux synonymes pour désigner les correspondances qui satisfont les deux propriétés ci-dessus.

Si tu as envie d'étudier les propriétés des correspondances pour lesquelles, à un même élément de , correspondent plusieurs éléments de , tu peux très bien le faire, et obtenir des résultats intéressants. Mais quant leur donner un nom, mais je crains que la communauté mathématique internationale ne te suive pas dans cette voie...

[Seirios]

Réponse très intéressante