Bizarrerie mathématique et géométrique

[XxDestroyxX]

Bonjour à tous, j'aimerais partager une trouvaille (peut-être inutile mais je n'en suis pas sûr) que je trouve assez bizarre car il y a quelques coïncidences. C'est une histoire de carré (appelé EFGH) aux propriétés étonnantes (ou pas XD) dans un autre carré (appelé ABCD).
Donc je vous partage tout ça pour que vous me disiez si ça peut, peut-être, servir à quelque chose XD.

Soit un carré ABCD de côté . On peut trouver les sommets du carré EFGH en construisant (on prendra ) :
- Quatre cercles de rayon de centres A,B,C et D. Les points d'intersection des cercles (à l'intérieur du carré) sont les sommets.

Capture d’écran 2017-06-17 à 17.06.28.png

- Quatre triangles équilatéraux de base AB, BC, CD et DA (vers l'intérieur). Leur sommets sont les points E, F, G et H.

Capture d’écran 2017-06-17 à 17.18.35.png

- Vous comprendrez mieux avec la photo XD

Capture d’écran 2017-06-17 à 17.28.53.png

Maintenant, par le calcul (systèmes d'équations avec les cercles), j'ai trouvé les coordonnées des points E, F, G et H en admettant que
:






Depuis les coordonnées de E et de F, j'ai trouvé la longueur des côtés du carré EFGH :





Or

Donc

Or
(dites moi si vous voulez un développement mais je pense que vous n'en aurez pas besoin, vous devez être beaucoup plus forts que moi (je passe en terminale l'année prochaine))

Ainsi,

D'après la longueur des côtés et le théorème de Pythagore, j'ai trouvé la longueur des diagonales de EFGH :


Or

Donc

Maintenant, le plus gros de l'histoire, on va calculer l'aire sous le carré EFGH, c'est-à-dire l'intégrale de la fonction dont la représentation graphique entre et serait le bas du carré donc la portion FGH de EFGH.
Cette fonction est



Bon je vais pas m'éterniser dessus hein XD



On a ainsi

Pour finir, j'ai trouvé quelque chose de très bizarre (en tous cas pour moi).

L'aire d'un triangle est (ce n'est pas ça le truc bizarre XD)

Or, dans un triangle équilatéral,

Donc

Si on prend un triangle équilatéral de côté (diagonale de EFGH) c'est-à-dire si on prend a, son aire est égale à



Ce qui est exactement égal à l'intégrale, je sais pas si c'est une coïncidence ni si on peut en faire quelque chose mai je trouve ça bizarre (et cela marche avec n'importe quelle valeur de bien sûr)...

Bon, voilà, c'est tout pour ces petites trouvailles donc, est-ce que ça pourrait servir à quelque chose ? Est-ce que je devrai continuer de creuser avec ces idée ou devrais-je en chercher d'autres ? Si vous avez des idées en plus à me partager, je suis preneur ^^
Merci de votre attention
-----

[invite51d17075]

il y a plein de calculs faux.......

[XxDestroyxX]

Sérieusement ? Ca doit être quand j'ai tapé (j'ai commencé le latex aujourd'hui donc j'ai pas dû faire attention avec tout ce qu'il y avait...). Tu parles que des calculs ou il y a des résultats faux aussi ? Parce que quand je vérifie avec géogebra, ça marche nickel.

[invitecb7c417d]

Hello, àmha et a fortiori, si tes calculs sont justes (donc avec réserves ?), tu te heurtes à la quadrature du cercle (aire d'un cercle ne pouvant être = l'aire d'un carré en raison de la transcendance de et tu vas te retrouver au minimum avec un qui fera pas l'affaire ... mais serait aussi un nombre univers ... du coup est-ce que est un nombre univers ? Ou juste transcendant ?)

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[XxDestroyxX]

Je viens de voir qu'en effet que j'ai fais une faute de frappe au premier calcul au "Donc", j'ai écris

à la place de

Ensuite, dans la phrase en dessous de

Donc , j'ai écris

... si on prend a à la place donc on voit pas bien le dernier "a"

Franchement, à part ça, je vois pas de fautes de calcul...
S'il y en a d'autres, fais les moi savoir ^^'

[XxDestroyxX]

Je suis pas sûr d'avoir compris où tu voulais en venir... Je n'ai pas essayé d'avoir un carré dont l'aire serait égale à celui d'un cercle (je crois ?) et je n'ai utilisé √2 q'une seule fois pour faire disparaître une racine de racine. De plus j'ai fais beaucoup d'essais et est bel et bien exactement égal à

[Médiat]

Je suis pas sûr d'avoir compris où tu voulais en venir

C'est bon signe, ne tenez pas compte du message de illusionoflogic, trop d'erreurs pour les recenser toutes !

[XxDestroyxX]

Bon du coup, c'est faux ou ça ne l'est pas ? XD

[invite51d17075]

j'ai parlé un peu vite "d'erreur".
disons que je n'ai pas saisi :
-pourquoi écrire c sous 3 manières différentes.?
et par ailleurs ce que tu "démontres" de manière très complexe à lire se voit même géométriquement. sans calcul.

[invite51d17075]

ou alors, il faut que je relise, car je ne vois pas ce qu'il y a d'un peu "magique".
par ailleurs il y a beaucoup plus simple que l'intégrale pour calculer le "morceau" concerné, mais c'est ça que je n'ai peut être pas compris.

[XxDestroyxX]

Je t'écoute avec plaisir ansset ^^

[XxDestroyxX]

J'ai écris de trois manières différentes car j'ai trouvé la dernière avec des expériences avant les calculs et je la trouvais plus simple donc je voulais arriver à cette formule (et j'en ai bavé XD) et du coup, c'est la seule manière que j'ai trouvé pour arriver à cette formule,passer par les deux autres.

[invite51d17075]

j'ai relu,
il y a une phrase que je ne suis pas sur de comprendre :

Maintenant, le plus gros de l'histoire, on va calculer l'aire sous le carré EFGH, c'est-à-dire l'intégrale de la fonction dont la représentation graphique entre et serait le bas du carré donc la portion FGH de EFGH.
Cette fonction est

la portion FGH de EFGH c'est la moitié du carré , non ?

[XxDestroyxX]

Quand je parlais de la portion FGH de EFGH, c'est la moitié du périmètre oui, pas de l'air, en gros, c'est le segment [FG] et le segment [GH], comme la fonction valeur absolue partant du point G entre les abscisses des points F et H (j'espère que c'est plus clair)

[invite51d17075]

OK, j'ai compris ta démo, la corrélation est juste ( comme on en trouve souvent en géométrie ).
mais je continue de penser qu'il y a bien plus simple de calculer ton aire sous le petit carré.
Cdt

[invitecb7c417d]

Je suis pas sûr d'avoir compris où tu voulais en venir... Je n'ai pas essayé d'avoir un carré dont l'aire serait égale à celui d'un cercle (je crois ?) et je n'ai utilisé √2 q'une seule fois pour faire disparaître une racine de racine. De plus j'ai fais beaucoup d'essais et est bel et bien exactement égal à

Salut XxDestroyxX, par politesse et pour ma défense, (libre à toi de zapper mon message), je te réponds succinctement :

Si je comprends bien, tu utilises les paramètres d'un carré arbitraire ABCD pour construire un autre carré EFGH, en utilisant des coordonnées au compas (sous entendu, provenant de cercles), afin d'en calculer l'aire (celle de EFGH), par intégration (donc avec les coordonnées des cercles, je cite : "(systèmes d'équations avec les cercles)") & déboucher pour calculer l'aire de tes triangles équilatérales, ce qui (pour moi), provoque une bizarrerie (que j'assimile à la "quadrature du cercle", je vais expliquer pourquoi !).

Tes triangles équilatéraux sont (évidemment !) un reliquat de de ton carré (4 triangles équilatéraux donnent un carré, surtout si l'on somme 4xl'Aire d'un des triangles équilatérales ! Ce qui est égal à l'aire de ton carré EFGH, si je comprends bien ? Mais j'ai peut être loupé une étape en sus ?)

Donc, en résumé, tu pars de l'aire d'un carré arbitraire pour calculer "par transformation" l'aire d'un autre carré, MAIS, tu passes par un systèmes d'équations dépendant de coordonnées trouvées à partir de cercles, n'est-ce pas ?), donc c'est une manière de décomposer (par "tes transformations") le problème de la "quadrature du cercle" tout simplement en évinçant !

Je te laisse méditer sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrature_du_cercle , tu devrais y reconnaitre des constructions semblables à ce que tu proposes ici

Voilà, c'est tout (hormis le fait que je ne m'engage pas répondre une fois de +, si le ton désagréable de Médiat persiste.), errare humanum est, et je sais que j'ai pu faire beaucoup d'erreurs ... mais ça devrait pas interférer ici, sauf si quelques phrases lapidaires représentent un tas d'erreurs ! Alors que mon seul but ici était de faire une correspondance avec l'histoire de la "quadrature du cercle", juste lancer une piste de réflexion car je penses pas que tes calculs "dans l'ensemble" soient faux !

++

[XxDestroyxX]

Tu aurais une proposition ? J'aimerais bien savoir

[XxDestroyxX]

(Mon dernier message pour ansset)

[invite51d17075]

non, cela n'a rien à voir avec le pb de la quadrature du cercle.
uniquement avec les coord de E,F,G,H.

[invite51d17075]

tu peux déjà bien simplifier ton intégrale. ( par symétrie )

initialement, je pensais plus simple de calculer directement l'aire de l'un quadrilatères, mais à la réflexion je ne sais pas si on y gagne vraiment.

[XxDestroyxX]

Illusionoflogic, ce n'est pas dans mes habitudes de zapper des messages, pour moi, chaque message a de l'importance.
Pour te répondre, j'utilise un carré arbitraire ABCD pour trouver un carré EFGH dont les sommets sont les points d'intersection des cercles. J'ai utilisé des systèmes d'équations (avec les équations des cercles) pour calculer les coordonnées des points E, F, G et H (qui je répète, sont les points d'intersection des cercles, donc facilement trouvables avec ces systèmes).
Ensuite, ce n'est pas l'air de EFGH que j'ai calculé par intégration, c'est l'air entre le bas de EFGH et l'axe des abscisses entre les abscisses des points F et H. En passant, je n'ai pas calculé l'aire des triangles équilatéraux en couleur sur l'image, j'ai calculé l'air du triangle équilatéral de base la diagonale de EFGH

[XxDestroyxX]

Oui ansset, j'y ai pensé aussi (quadrilatères) donc faire l'air du rectangle de longueur et de largeur et y enlever la moitié de l'air de EFGH. C'était pas très court non plus, c'est pour ça que j'ai utilisé l'intégrale

[invitecb7c417d]

Illusionoflogic, ce n'est pas dans mes habitudes de zapper des messages, pour moi, chaque message a de l'importance.

...

D'accord, j'ai compris. Le seul point que j'ai a rajouter, c'est que tu utilises une construction au compas, et que tu demandais à quoi ça peut servir ? Avec des calculs d'aires de polygones réguliers convexes, etc ...

C'est pour ça que j'ai pensé à la quadrature du cercle ... ce n'est jamais inutile de faire ou refaire des raisonnements, même s'il est vrai que la quadrature n'a pas d'applications (puisque c'est une impossibilité ).

Voilà, le sens de mes réponses, c'était dans le seul but d'y trouver des correspondances, afin d'y "voir" une ou des applications (comme tu l'as demandé dans ton 1er post).

Bon, j'ai fini, et bonne continuation !

[XxDestroyxX]

Merci, c'est vrai je sais pas du tout à quoi ça pourrait servir (ni pourquoi l'aire du triangle de côté la diagonale de EFGH est égale à l'aire sous le carré). Merci quand même d'avoir essayé de trouver une corrélation avec une question mathématique actuelle

[Merlin95]

Soit la longueur du segment "horizontal" (pour a = 1) passant par G ayant pour les extrémités les points dont les abscisses sont celles des points H et F. On a
On a alors l'aire recherché = aire "sous ce segment" + 4 fois l'aire du triangle rectangle isocèle de coté .


on a


De plus l'aire du triangle équilatéral de base B (de coté ) me semble fausse (sauf si j'ai mal compris, de manière évidente ou relation entre c et h : )

[Merlin95]

Ne pas prendre en compte ma dernière remarque sur le triangle équilatéral qui est une "bêtise" de ma part.

On peut simplement dire que est égale à deux fois l'aire d'un triangle équilatéral de coté ()

[XxDestroyxX]

Merlin95, dans un triangle équilatéral, d'après le théorème de Pythagore,

Donc du coup, et
Sauf si erreur de ma part ?

Ce que tu appelles "l'aire recherché", c'est l'aire sous EFGH ? Je crois ne pas comprendre d'où sortent certaines des longueurs et aires que tu utilises dans ton calcul, pourrais-tu les expliquer s'il te plait ?

[Merlin95]

Merlin95, dans un triangle équilatéral, d'après le théorème de Pythagore,

Donc du coup, et
Sauf si erreur de ma part ?

Non c'est bien cela, c'est moi qui me suis trompé (voir mon message précédent).

Ce que tu appelles "l'aire recherché", c'est l'aire sous EFGH ? Je crois ne pas comprendre d'où sortent certaines des longueurs et aires que tu utilises dans ton calcul, pourrais-tu les expliquer s'il te plait ?

L'aire sous un carré ? je vois pas ce que c'est, tu veux dire l'aire "sous" les segments [H G] puis [G F] ?

[XxDestroyxX]

D'après ce que je comprends, c'est ça, mais c'est la somme des deux aires que tu dis

[Merlin95]

c'est la somme des deux aires que tu dis

Oui (l'aire de la réunion de deux domaines est la somme des aires de chaque domaine).

On calcule donc bien la même chose mais on trouve des résultats différents.

A priori, ma "construction" est assez simple, ca devrait être facile de dire où est l'erreur.