Décomposer ln (a + b)

[MrNeight]

Bonjour à tous,

Je cherche à décomposer ln (a + b) en termes ln (a) et ln (b).
Est-ce que c'est possible et si oui comment s'y prendre ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

A priori, non.

Cordialement.

[eudea-panjclinne]

La question est intéressante, ce qui revient, sauf erreur, à montrer que
Pour tout a et b réels positifs stricts ln(a+b), ln(a) , ln(b) sont algébriquement indépendant sur IR.
Ou si P est un polynome de IR[X,Y,Z],
Pour tout a,b de IR+* P(ln(a+b),ln(a),ln(b))=0 implique P=0
Il suffit alors de montrer que pour tout x de IR+*, ln(x+1 et ln(x) sont algébriquement indépendants sur IR.
Est-ce vrai ?

[gg0]

Heu ...


Si l'un ou l'autre de ou est nul, on a une autre formule du même genre.

Il n'y a que si les deux sont nuls qu'une combinaison linéaire de et ne redonne pas

NB : Il me semble que la question posée est "existe-t-il une formule - pas nécessairement algébrique- qui permet de calculer ln(a+b) à partir de x=ln(a) et y=ln(b) ? " or cette formule existe :

J'ai un peu peur que ça ne convienne pas vraiment à MrNeight.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MrNeight]

Je ne comprends pas grand chose de ce que tu fais ^^

Ce que je souhaite c'est pouvoir exprimer ln(a+b) en fonction de a et b.
Trouver un polynôme fonction de ces 3 termes revient à trouver la relation.

J'étais parti sur deux pistes mais je ne les ai pas vraiment exploité, j'ai préféré contourner mon problème plutôt que d'essayer de démontrer quelque chose qui "a priori" ne se démontre pas.

Mais je suis content que ma question t'intéresse alors je vais te donner mes deux pistes que je pensais creuser plus tard, pour ce qu'elles valent ^^


La première était de partir d'une définition du type :

ln [ (a+b) / (a+b) ] = 0

Evidemment dans ce cas là ça ne nous mène nulle part mais l'idée est de trouver une définition sympathique pour retomber à un moment sur ln(a+b), a creuser peut-être mais ça ne me semble pas avoir beaucoup d'avenir.

Ma deuxième piste était de travailler sans les logarithmes. En rejoignant ton idée de polynôme, on pourrait en trouver un en fonction de (a,b). Si on arrive à trouver une expression de type (a+b) = f(a,b) il suffira alors de passer tout en logarithme en on obtiendra ln(a+b) = g(a,b) = ln( f(a,b) )


Je sais pas si mes pistes peuvent avoir une quelconque utilité, je m'y pencherais potentiellement plus tard.


Merci !


Edit : je viens de voir le message de gg0.

Comment puis-je voir une démonstration de cette formule ?

[eudea-panjclinne]

Ce que je souhaite c'est pouvoir exprimer ln(a+b) en fonction de a et b.
Trouver un polynôme fonction de ces 3 termes revient à trouver la relation.

Je vais m'exprimer autrement : si je te comprends peut-on exprimer ln(a+b) en fonction de a et b.
2 cas possibles :
1) on n'utilise que les 4 opérations élémentaires pour exprimer ln(a+b) à partir de a et b, même si ce sont des expressions compliquées. On sait, malheureusement depuis longtemps, que c'est impossible : on résume cela en disant que la fonction ln est transcendante sur l'ensemble des fractions rationnelles. Dit d'une autre façon ce n'est pas la peine de chercher, on n'en trouvera pas.
2) on utilise toutes les fonctions élémentaires connues, c'est ce qu'à fait gg0, dans ce cas on peut trouver autant d'expressions que l'on veut.

[gg0]

MrNeight,

ma formule utilise simplement le fait que exp et ln sont des réciproques l'une de l'autre, donc que

(la première égalité n'est qu'une réécriture en forme de puissance de l'exponentielle).

J'ai donc remplacé a+b par .... a+b.

Cordialement.