variation de fonction

[inviteb2d1446d]

Bonjour à tous,
j'ai un doute sur la résolution d'un exercice sur des variations de fonctions au niveau seconde.

f(x)=-(x-1)²-2, x'<x'' sur [1;2].

On me demande montrer que f(x) est strictement décroissante sur cet intervalle.
J'ai une première méthode où je prend des valeurs pour x' et x" sur l'intervalle, ex x'=1 et x"=2, je trouve bien f(x')>f(x"), donc que la fonction est décroissante sur l'intervalle en question.
Je voudrais en fait savoir si il y a une méthode qui permet de retrouver ce résultats sans choisir de valeur a x' et x", juste en connaissant f et la donnée x'<x".

Merci si vous savez répondre à cette interrogation
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[gg0]

Bonjour.

Ta première méthode ne fonctionne pas, elle montre seulement que la valeur de f a diminué entre 1 et 2, pas que la fonction diminue de n'importe quelle valeur à n'importe quelle autre valeur plus grande.
Donc tu n'as pas le choix, tu dois traiter avec les lettres x' et x".
Pour cela, je te rappelle que dire f(x') >f(x") revient à dire f(x')-f(x")>0, donc il te suffit de regarder ce que vaut f(x')-f(x"), en particulier son signe.

Bon travail !

[invite51d17075]

Et souviens toi que A²-B²=(A-B)(A+B)

pas mal d'élèves de seconde oublient les identités remarquables si importantes pour la suite ( et je sais que tu te prépares pour ta première )

[inviteb2d1446d]

Oui merci j'ai un peu avancé,
j'ai posé :
f(x')-f(x")= -(x'-1)²-2 + (x"-1)²+2
=(x"-1)² - (x'-1)²
=(x"-x')(x"+x'-2)

Ensuite j'ai conclu que, sachant que x appartient a [1,2] et x">x' alors x"-x'>0
pour les mêmes raisons x"+x'-2>0

Donc que le produit est strictement positif et donc que f(x')>f(x").
J'ai l'impression que ça tient la route, mais est ce qu'il n'y pas lieu d'améliorer dans la forme par exemple ?
Merci en tout cas pour vos réponses

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

bjr,
ça me semble très bien comme ça.
Cdt

[gg0]

Pour la forme, il faudrait avoir la rédaction complète de la réponse, mais si tu as justifié x"+x'-2>0, il n'y a qu'une chose malsaine :
"sachant que x appartient a [1,2] et x">x' alors x"-x'>0"
la partie en gras est inutile, et tu donnes l'impression que tu t'en sers pour justifier x"-x'>0.
De même, x">x' ne sert pas pour prouver x"+x'-2>0.

rappel : ce n'est pas au lecteur de débrouiller dans ce que tu écris ce qui sert. Une accumulation d'informations n'est pas un raisonnement.

Cordialement

[inviteb2d1446d]

j'ai précisé x">x' pour prouver x"+x'-2>0 pour bien montrer que x"+x'-2 est strictement supérieur à 0, sinon on aurait pu avoir un doute, l'intervalle étant [1;2].
Sinon merci pour ta première correction.

cordialement

[gg0]

Bien vu !

Comme quoi, sans une rédaction complète, on ne peut pas savoir