Opération sur les nombres.

[SchrittFurSchritt]

Bonjour!
Tout le monde savent qu'un nombre négatif fois un nombre négatif est égale un nombre positif.
Quelqu'un peut donner une explication?!
Merci
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[invite51d17075]

dans Z ou R, (-1) est l'inverse de (-1) pour la multiplication.
(-1)(-1)=1
donc pour a et b positifs,
(-a)(-b)=(-1)a*(-1)b=(-1)(-1)ab=ab .

[SchrittFurSchritt]

Ok jolie idée.

[Médiat]

Bonjour,

Tout le monde savent qu'un nombre négatif fois un nombre négatif est égale un nombre positif.
Quelqu'un peut donner une explication?!

Les entiers relatifs sont définis à partir des entiers naturels par une classe d'équivalence sur les couples d'entiers :


L'addition sur les couples est définie par :
On peut démontrer qu'elle est compatible avec la relation d'équivalence

La multiplication est définie par :
On peut démontrer qu'elle est compatible avec la relation d'équivalence


L'entier naturel est représenté par la classe : (injection canonique)
On peut vérifier facilement que , c'est à dire que est l'opposé de 1 que l'on écrira -1.

Or, par définition

QED

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

L'introduction des nombres négatifs remonte au 16e siècles. Les mathématiciens (Italiens en l’occurrence) de l'époque essayaient de justifier empiriquement les signes des opérations simples par des exemples de dénombrement.
Pour l'addition et la soustraction avec la notion de gain et de débit ça se fait tout seul.
Pour la multiplication d'un positif et d'un négatif c'est facile : 3 fois le même débit de 1 donne un gros débit donc 3(-1)=-3.
C'est beaucoup plus compliqué pour un négatif par un négatif parce qu'un nombre négatif ne peut dénombrer. La solution trouvée fut mathématique) : ces opérations doivent être compatibles avec les règle de l'algèbre ordinaire, en particulier la distributivité de la multiplication sur l'addition :
(-1)((2+(-2))=0 ou par distributivité (-1)(2)+(-1)(-2)=0
donc -2+(-1)(-2)=0
donc (-1)(-2)=+2.
moins par moins donne plus !

[Merlin95]

L'addition sur les couples est définie par :

On peut démontrer qu'elle est compatible avec la relation d'équivalence
...
La multiplication est définie par :
On peut démontrer qu'elle est compatible avec la relation d'équivalence

Bonjour,

pourriez-vous en dire plus pour compatibles avec la relation d'équivalence (celle donnée précédemment je crois) ?

[Médiat]

Bonsoir

pourriez-vous dire ce que vous entendez par compatibles avec la relation d'équivalence (celle donnée précédemment je crois) ?

On dit que l'opération est compatibe avec la relation d'équivalence si et c'est cette propriété qui permet de donner un sens à l'opération appliquée aux classes d'équivalence

[Merlin95]

ok merci je vois mieux.

[invitedd63ac7a]

Les entiers relatifs sont définis à partir des entiers naturels par une classe d'équivalence sur les couples d'entiers :...etc...

Je me rappelle avoir enseigné tel quel cela en 5e il y a quelques décennies, à l'époque glorieuse des maths modernes.
Inutile de dire que j'avais un succès fou...