Coincidence ou pas ? (sûrement pas)

[XxDestroyxX]

Bonjour, en faisant un calcul de fraction continue et une faute de calcul monumentale, j'ai trouvé une propriété assez drôle de la fraction
Je pense que tout le monde est d'accord pour dire que quand ,
Mais en calculant les résultats pour n=0 (pas trop dur ), puis n=1, puis n=2, puis n=3, etc...
Je trouve :





...
On voit bien un rapport avec la suite de Fibonacci (1;1;2;3;5;8;13;21;34;...)
Ainsi, en généralisant, on trouve
où le n-ième terme de la suite de Fibonacci.
Or on sait que le quotient de 2 très grands termes se suivant dans la suite de Fibonacci (le plus grand au numérateur) tend vers
On a donc


Quand





On a bien prouvé que

Mais du coup, quelqu'un sait pourquoi cette fraction, suivant les valeurs de n, prend des valeurs contenant les termes de la suite de Fibonacci ? Merci de vos réponses
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[gg0]

Bonjour.

C'est très classique, cherche des documents sur l'expression de , le n-ième terme de la suite de Fibonacci. On a des calculs proches avec n'importe quelle suite récurrente de la forme avec toujours l'intervention de .

Cordialement.

NB : pour surfer, les mots clefs sont Fibonacci, suite récurrente, nombre d'or.