Combinaison sur un damier

[Merlin95]

Bonjour

J'aimerais vos lumières pour trouver la faille dans un raisonnement manifestement faux.
Il s'agit d'un calcul dans le cadre de ce problème.


Je connais le résultat qui est 9 obtenu par un raisonnement et par un programme informatique, mais j'aimerais y arriver par un autre raisonnement qui me semble logique mais qui donne 11 au lieu de 9.

Voici le problème, à noter que je ne demande pas sa résolution mais à comprendre ce qui ne va pas dans mon raisonnement.

Supposons un damier carré contenant 16 cases, sur la diagonale se trouvent des tours noires. Je dispose de 4 autres tours rouges indistinguables.

Je voudrais le nombre de cas où les 4 tours rouges sont sur le damier de sorte qu'aucune rouge ne soit alignée avec une autre rouge.
Tout d'abord le 1er raisonnement : je pose une tour sur la 1ère colonne, pour une des 3 autres colonnes (celle où la noire est alignée avec la rouge posée) avec j'ai aussi 3 possibilités, et pour les colonnes restantes je n'ai plus qu'une possibilité d'où le nombre de cas possibles = 3x3 = 9.

Voici maintenant voici mon raisonnement qui me semble correct mais me donne 11 au lieu de 9.

Dans ce raisonnement, chaque tour est considérée comme unique, j'énumère tous les cas et à la fin je divise par 4! le nombre de fois où chaque configuration semblable apparait.

Pour la 1ère tour j'ai 12 possibilités de placements sur tout l'échiquier.
Pour la deuxième j'en ai 7 mais suivant où je la place, je n'ai pas le même nombre de possibilité pour la 3ème tour :

- pour 2 positions de la 2ème tour, j'ai 4 possibilités pour la 3ème tour, 1 possibilité pour la 4ème tour
- pour 4 positions de la 2ème tour, j'ai 3 possibilités pour la 3ème tour, 1 possibilité pour la 4ème tour
- pour 1 positions de la 2ème tour, j'ai 2 possibilités pour la 3ème tour, 1 possibilité pour la 4ème tour

Et c'est toujours ce même principe quelque soit où j'ai posé la 1ère tour.
Ce qui me donne le nombre de solutions :
(12 x 2 * 4 * 1) + (12 x 4 * 3 * 1) + (12 x 1 * 2 * 1) que je divise par 4! pour éliminer les "doublons" et ça me donne 11 au lieu de 9.

J'ai mis en PJ les positions correspondantes de la tour 2 (la tour 1 étant en (3,4) pour l'exemple) où il y a ensuite 3, 4 et 2 possibilités

Sauriez-vous voir où est mon erreur ?
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[Merlin95]

Je viens tout juste finalement de comprendre mon erreur.

Pour information, pour les 3 positions de la tour 2 où on peut mettre la tour 2 dans 3 cases, en réalité, 2 sont incompatibles car ne permettant pas de placer la tour 4.

Je mets un exemple en P.J. où on ne peut placer la 4ème tour qu'une fois sur les 3 positions possibles de la tour noire.

[Merlin95]

Grrr même ce dessin est faux je suis fatigué.

Avec correction,

- pour 2 positions de la 2ème tour, j'ai 4 possibilités pour la 3ème tour, 1 possibilité pour la 4ème tour
- pour 4 positions de la 2ème tour, j'ai 2 possibilités pour la 3ème tour, 1 possibilité pour la 4ème tour
- pour 1 positions de la 2ème tour, j'ai 2 possibilités pour la 3ème tour, 1 possibilité pour la 4ème tour
ce qui donne (12*2*4*1 + 12*4*2*1 + 12*1*2*1)/4! = 9

[interferences]

Bonjour,

Personnellement, je n'ai que 6 arrangements (le premier est la grille vide) :

TOOO || TOOX || TOOX || TOOX || TOXO || TXOO || TXOO
OTOO || OTXO || OTXO || XTOO || OTOX || OTOX || XTOO
OOTO || OXTO || XOTO || OXTO || XOTO || XOTO || OOTX
OOOT || XOOT || OXOT || OOXT || OXOT || OOXT || OOXT

Au revoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

Il y en a 9.

Il t'en manque donc 3

TOXO
XTOO
OOTX
OXOT

TXOO
OTXO
OOTX
XOOT

TOXO
OTOX
OXTO
XOOT

[interferences]

Tu me donnes des symétries ou rotations

Voir avant dernier diagramme pour ton premier :

TOXO
XTOO
OOTX
OXOT

équivaut :

TXOO
OTOX
XOTO
OOXT

et les 2 autres également : 1=6 ; 2=4 ; 3=3

1 symétrie, 2 rotations.

[Merlin95]

D'accord mais, le but est de trouver le nombre de cas sans les considérations de symétries ou rotations (quoique ce la signifie).

[interferences]

Ben, rotation c'est simple, tu fais simplement tourner le damier...ou tu l'observes de l'autre coin de la table.
La symétrie...tu considères la diagonale de tours noires comme un miroir.
Si tu considères tous les cas sans symétries...tu en as trouvé un 7ème et c'est tout ! (le premier diagramme que tu m'as donné était une symétrie.)
On arrive toujours pas à 9...
Donne moi des contre-exemples.

[Merlin95]

Je n'ai jamais parlé de symétries avec que tu en parles. On cherche les solutions distinctes (c'est de ces solutions distinctes qu'il y en a 9).

[interferences]

Ok donc ça fait 7.

[Merlin95]

J'abandonne.