Cos 9t en fonction cos t

[invitec2703122]

Après 3h de calculs et environ 30 pages arrachées je trouve:
cos(9t) =256(cos(t))^9 -576(cos(t))^7 +432(cos(t))^5 -120(cos(t))^3 + 9cos(t)


Merci beaucoup pour toutes vos indications et le temps ue vous avez passé !!!!!
-----

[mAx6010]

cos(9t) =256(cos(t))^9 -576(cos(t))^7 +432(cos(t))^5 -120(cos(t))^3 + 9cos(t)

Le principal c est surtout que tu comprennes la methode

[invitec2703122]

Oui j'ai compris tout s'est éclairci ! Merci !

[danyvio]

J'ai trouvé le même résultat en appliquant la merveilleuse formule de Moivre (cos (t) + i sin(t))ⁿ=cos (nt)+i sin(nt).
Aidé par le non moins merveilleux triangle de Pascal, j'ai développé pour n=9 . Pour me simplifier la vie, ci dessous C signifie cosinus(t) et S vaut (i sinus(t)).

(C+S)⁹=S⁹ + 9 CS⁸ +36 C²S⁷ +84 C³S⁶ +126 C⁴S⁵+126 C⁵S⁴ + 84 C⁶S³ + 36 C⁷S² + 9C⁸S +C⁹
On ne retient que les monômes réels où S est affecté d'un exposant pair, qui représentent la parie réelle soit cos(9t)
Cos(9t) =9 CS⁸ +84 C³S⁶ +126 C⁵S⁴ + 36 C⁷S² +C⁹
En notant que i²=-1, i⁴=1 i⁶=-1, i⁸=1 :

Je réattribue la valeur S=sinus(t), pour obtenir :
cos (9t)= 9 CS⁸ -84 C³S⁶ +126 C⁵S⁴ - 36 C⁷S² +C⁹

Ouf ! le plus dur est fait.
Mais on remplace les S² par (1 - C²), S⁴ par (1 -2C²+C⁴) , S⁶ par (1 -3C²+3C⁴-C⁶), S⁸ par (1 -4C²+6C⁴-4C⁶+C⁸)

La suite est du calcul basique...