Démonstration par récurence

[invitef3cf2f64]

Bonjour à tous,
Nous venons d'apprendre le raisonnement par récurrence aujourd'hui et je n'arrive pas à faire un exercice:
Je dois montrer que pour tout n de N, 4ⁿ-1 est divisible par 3
J'ai fait l'initialisation mais je n'arrive pas à démontrer l'hérédité
Qqn peut m'aider svp?
Merci bcp !
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[gg0]

Bonjour.

Tu as donc comme hypothèse que pour un certain entier k, 4^k-1 est un multiple de 3. Il te faut montrer la même chose de 4^k+1-1. En utilisant l'hypothèse de récurrence. Alors à toi d'être astucieux, et de faire apparaître 4^k-1 dans 4^k+1-1, ou bien de partir de 4^k-1 pour arriver à 4^k+1-1.
Tu es futé, tu vas bien y arriver ...

Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
Si 4^(n-1) -1 est un multiple de 3,alors 4^(n-1)= 3k+1 où k est un entier.
Comment passer ensuite à 4^n?

[invitef3cf2f64]

Je peux le faire apparaître en remplaçant 4^k+1-1 par 4x4^k-1 mais je ne sais pas quoi faire avec ça... Est-ce que ça suffit?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3cf2f64]

Je n'ai pas bien compris Resartus, je n'ai pas le 4^(n-1)

[invitef19070df]

Salut,

Je peux te donner un petit indice, souviens toi des règles des puissances...

De plus, garde à l'esprit que


Bon courage !

[gg0]

Je peux le faire apparaître en remplaçant 4^k+1-1 par 4x4^k-1 mais je ne sais pas quoi faire avec ça... Est-ce que ça suffit?

Ben ... tu as presque fini. rappelle-toi que tu veux montrer que c'est un multiple de 3.

[gg0]

Attention Lutyx, tu as oublié de taper un exposant. C'est


Cordialement.

[invitef19070df]

Bonsoir,


Merci Gg0, je ne m'étais pas relu. J'espère ne pas t'avoir induit en erreur Energyguy.

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

Autre façon de présenter la problème : Cela revient à démontrer que , ce qui est évident et immédiat à démontrer par récurrence.

Cordialement