Démonstration par recurence un peu difficile.

[invitec66975e6]

Bonjour, j'ai un petit blocage sur une démonstartion par recurence.
Voila ce qu'il faut demontrer:

pour tout n appartenant a N , e^n+1 > 2n+1 .

Jai reussi a demontrer l'initialisation mais après je bloque

Merci d'avance.
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[Shadowlugia]

est-ce qu'on te demande explicitement de le montrer par récurrence ? pour ma part, moi j'étudierais la fonction f définie par f(x) = e^x+1-2x-1 et montrerais qu'elle est toujours positive sur N. Pour cela je la dérive et je montre qu'elle est strictement croissante sur l'ensemble des réels positifs et que f(0) > 0.

Bon après, si tu dois vraiment faire une récurrence, effectivement tu initialises, puis tu supposes la propriété vraie pour n. et pour vérifier l'hérédité, eh bien je ferais la même chose que ci-dessus mais avec g(x) = e^x+2-2x-3, c'est la même chose...

Il y a peut-être plus simple, ceci dit...

[PlaneteF]

pour tout n appartenant a N , e^n+1 > 2n+1 .

Il y a bien une parenthèse pour le n+1 de l'exponentielle ?? ... càd, faut-il effectivement lire, comme le suggère Shadowlugia,

[sammy93]

Salut.
C'est un peu "tiré par les cheveux".
On doit démontrer que : ;
Hérédité.
.On multiplie par e: .On compare 2en+e avec
2(n+1)+1.
On peut poser e=1+a (a>1) car e est environ égal à 2,7.
2(1+a)n+1+a-2n-2-1=2an-2+a=2(an-1)+a et comme ....
Sauf erreur de ma part.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Salut.
C'est un peu "tiré par les cheveux".
On doit démontrer que : ;
Hérédité.
.On multiplie par e: .On compare 2en+e avec
2(n+1)+1.
On peut poser e=1+a (a>1) car e est environ égal à 2,7.
2(1+a)n+1+a-2n-2-1=2an-2+a=2(an-1)+a et comme ....
Sauf erreur de ma part.

Bonjour,

Pas besoin de poser e=1+a, ... il suffit juste de remarquer que e>2, et du coup on a :

(2n+1)e > 2(2n+1) = 4n+2

Et on a bien : 4n+2 > 2(n+1) + 1 <=> n>1/2 ce qui est vrai !

[invitec66975e6]

C'est bon jai reussi! Merci beaucoup tout le monde