DM tangente cercle parabole

[invited12bb0ce]

Voici le sujet
r désigne un réel strictement positif
P est une parabole d'équation y=x^2-3 et le cercle C de centre O et de rayon r
Il me faut caractériser les cas de tangence et en déduire la valeur du rayon r, ainsi que les coordonnées des points de contact dans ce ou ces cas.
J'ai le système (S) qui traduit les points d'intersection du cercle C et de la parabole P:
x^4-5x^2+9-r^2=0 (E)
y=x^2-3
J'ai trouvé que l'équation E admettait soit 0, 2, 3 ou 4 solutions comme le nombre de points d'intersection.
J'ai déjà trouvé les coordonnées de deux points lorsque r=racinecarrée de 11/4
Je sais aue ces points sont communs au cercle et à la courbe mais je ne sais pas si la courbe et le cercle admettent une tangente commune en ce point. Pour cela il me faut dériver les équations de la parabole et du cercle mais je ne sais pas dériver l'équation de cercle x^2+y^2=r^2
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Je te propose un changement de variable X=x² (dans l'équation E) et de résoudre l'équation du second degré en X puis de déduire les solutions en x.

Bonne continuation.
Cordialement,
Duke.

[phys4]

Je sais que ces points sont communs au cercle et à la courbe mais je ne sais pas si la courbe et le cercle admettent une tangente commune en ce point. Pour cela il me faut dériver les équations de la parabole et du cercle mais je ne sais pas dériver l'équation de cercle x^2+y^2=r^2

Pour une racine double, il est facultatif de rechercher une tangente commune.