arithmétique équivalence

[kaderben]

Bonjour

n entier, n>0

Que pensez vous de l'équivalence suivante:

n=2k, k entier non nul

n=2k équivaut à n²=4k²=2(2k²)

Merci pour vos réponses.
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[Resartus]

Bonjour,
J'ai du mal à voir où vous voyez un problème. Avez-vous en tête que k pourrait être négatif?
Il faudrait en effet préciser que k est un entier positif pour qu'il y ait équivalence. Mais on aura toujours n=2*|k|

[jacknicklaus]

Il faudrait en effet préciser que k est un entier positif pour qu'il y ait équivalence.

En effet. Et c'est le cas puisque

n=2k

et

n entier, n>0

donc moi non plus, je ne vois pas le problème ...

[kaderben]

Supposons que k>0, donc n=2k équivaut à n²=4k²=2(2k²) est juste même s'il s'agit de l'arithmétique modulaire ?
n pair équivaut à n² pair ? Pour moi oui mais pour d'autres apparemment non!

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Supposons que k>0, donc n=2k équivaut à n²=4k²=2(2k²) est juste même s'il s'agit de l'arithmétique modulaire ?
n pair équivaut à n² pair ? Pour moi oui mais pour d'autres apparemment non!

[PlaneteF]

supprimé ... ...

[masterclassic]

Bonjour.

De la première relation on déduit la seconde dans tous les cas.
L'inverse est valable pour les valeurs absolues.

[Resartus]

Bonjour,

Mais ce n'est plus du tout la même question! Comment voulez-vous qu'on devine si vous ne le précisez pas?

En arithmétique modulo p, on ne peut pas toujours simplifier les expressions : il peut exister des diviseurs de zero et il peut y avoir plusieurs nombres qui ont le même carré. Donc c'est à vérifier au cas par cas, en fonction de la valeur de p...

Mais je vous signale que parler de nombre positif en arithmétique modulaire n'a aucun sens, pas plus d'ailleurs en général que parler de nombre pair ou impair

[PlaneteF]

Bonsoir,

Supposons que k>0, donc n=2k équivaut à n²=4k²=2(2k²) est juste même s'il s'agit de l'arithmétique modulaire ?
n pair équivaut à n² pair ?

Oui, mais encore faut-il justifier qu'un carré parfait pair est de la forme

Cordialement

[kaderben]

je cite masterclassic:

De la première relation on déduit la seconde dans tous les cas.
L'inverse est valable pour les valeurs absolues.

Est ce que tu peux expliciter...

[masterclassic]

je cite masterclassic:

Est ce que tu peux expliciter...

Bonjour.

n entier, n>0

Que pensez vous de l'équivalence suivante:

n=2k, k entier non nul

n=2k équivaut à n²=4k²=2(2k²)

A partir de n=2k on a n²=(2k)²
que les n,k soient positifs, negatifs ou même 0. C' est valable.
4k² et 2(2k²) sont simplement deux écritures de (2k)².

Mais si on a n²=(2k)² ou n²=4k²=2(2k²) (c'est le même)
on ne peut pas dire si facilement n=2k, parce que on peut avoir aussi n=2(-k).
On déduit donc n=2|k|

Si on a les restrictions n>0 et k>0, oui alors on a une seule solution.
k entier non nul veut dire positif ou négatif.
Si on a seulement la seconde relation donnée (celle avec les carrés), on n' a pas automatiquement la condition k>0. Pourtant, cette condition est implicitement donnée au premier cas (n=2k). Dans le second cas il faut une condition supplémentaire pour permettre d'éliminer une des 2 solutions. Cela peut être par exemple k>0, ou n et k de même signe.
C' est un détail fin, mais dans les maths c' est bien de chercher la précision fine.


Je précise que ma démarche était de déduire chacune des relations en question à partir de l' autre et voir si les conditions sont suffisantes.

[Resartus]

Bonjour,

Pourrait-on clarifier si n est bien un entier tout court appartenant à N (0, 1, 2, 3,...) ou autre chose...

Et peut-on savoir quel est votre niveau scolaire, et dans quel contexte vous posez la question? Car d'un coté vous utilisez des termes comme 'arithmétique modulaire" qui est d'un niveau terminale (SPE maths), de l'autre vous posez des questions dont la réponse est de niveau collège....

[invite51d17075]

@Resartus:
il me semble que Kaderben fait des maths seul, pour le plaisir, avec un background TS ancien.
d'où peut être certaines questions confuses.

[kaderben]

@Resartus:
il me semble que Kaderben fait des maths seul, pour le plaisir, avec un background TS ancien.
d'où peut être certaines questions confuses.

C'est exact, j'ai le bac c ( ancien) et je fais des maths pour le plaisir!

Resartus
et dans quel contexte vous posez la question?

Je sais qu'on démontre :Si n² pair alors n pair par disjonction de cas, par contraposée et par l'absurde.
Alors j'ai pensé à l'équivalence: n=2k équivaut à n²=4k²=2(2k²)
Je savais d'avance qu'elle est fausse car s'il était vraie il y aurait longtemps qu'un matheux l'aurait utilisée!

Le but c'était de voir pourquoi elle est fausse en donnant un contre-exemple numérique mais je n'arrive pas à le trouver.

[invite51d17075]

elle n'est pas "fausse".
il est juste nécessaire pour l'équivalence de préciser les signes.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Je sais qu'on démontre :Si n² pair alors n pair par disjonction de cas, par contraposée et par l'absurde.
Alors j'ai pensé à l'équivalence: n=2k équivaut à n²=4k²=2(2k²)

Au risque de me répéter cette équivalence (qui est vraie pour ) ne permet pas de conclure en première instance que : si est pair alors pair.

Dit autrement il est bien sûr évident que est un carré parfait pair, par contre réciproquement est-ce qu'un carré parfait pair s'écrit forcément sous la forme . A justifier.

Cordialement

[kaderben]

Bonjour

PlaneteF
par contre réciproquement est-ce qu'un carré parfait pair s'écrit forcément sous la forme . A justifier.

si n est pair il existe k tel que n²=(2k)²= 4k²
Si n est impair alors il existe k tel que n=2k + 1 => n²= 4k² + 4k + 1

Puis je me suis fait aider pour ce qui suit:
n²=2(2k²+2k)+1
Posons p = 2k²+2k
donc n²=2p+1, p est un entier et donc que n² est impair.

Conclusion si n² est pair il s'écrit forcément de la forme 4k²
Je pense que c'est valable pour tout k entier

Que pensez vous de ce résultat ?

[masterclassic]

Bonjour.

Ça a l'air correct.
En ce qui concerne le champ d' application: parlons de n entier et n>0.
Pour n = 2, on aura k=1 et tout va bien. Pareil avec tout pair (4,6,8,...).

Si n impair:
avec n >= 3 on aura k = 1,2,3,...
avec n = 1, il faut avoir k=0. Donc, pour k on doit autoriser aussi 0.

[invite51d17075]

oui, c'est une demo "par l'absurde", mais on peut penser à un autre raisonnement
si n² est pair , alors 2 divise le produit n*n ; donc divise " n ou n " et donc divise n
donc n=2k et n²=4k²