demonstration par recurence

[invited6569fc4]

svp quelqun peut m'indiquer comment demontrer par recurence que
n(n+8)(n+13) est divisible par 6
car en remplacant n par n+1 on tombe sur des calcul enormes
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[gg0]

Bonjour.

Non, pas de calculs "énormes", simplement un calcul un peu plus long que les tout petits calculs que tu as fait jusque là.
Une idée simple : Tu sais que f(n)=n(n+8)(n+13) est divisible par 6, tu calcules f(n+1)-f(n) qui est assez simple une fois développé et tu montres qu'il est divisible par 6.

Rappel : f(n+1)=(n+1)(n+1+8)(n+1+13) n'est pas compliqué !

Bon travail !

[invited6569fc4]

voila à qoi je suis arrivé
f(n+1)-f'n)=n(n+8)+(n+14)(2n+9)

[gg0]

Oui ?

Et quel est l'intérêt de cette écriture ?

On aboutit à une preuve qui n'est pas bien plus simple que prouver directement que n(n+8)(n+13).

Es-tu obligé de travailler par récurrence ? Car le faire directement (surtout en utilisant 8=6+2 et 13=2*6+1) est assez simple.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6569fc4]

en developpant on arrive à
f(n+1)-f'n) =3n(n+15)+126
en detaillant n paire ou impaire
on arrive au resultat demandée

[gg0]

Avec des congruences, c'est sans récurrence, si on sait que trois entiers successifs sont tels qu'il y en a au moins un pair, et un multiple de 3.

[invite23cdddab]

Avec des congruences, c'est sans récurrence, si on sait que trois entiers successifs sont tels qu'il y en a au moins un pair, et un multiple de 3.

Et même sans congruence, on peut le faire par disjonction de cas :

si n est pair, le nombre est pair car multiple de n
si n est impair, alors n+13 est pair, donc le nombre est pair pour la même raison


si n est un multiple de 3, le nombre est un multiple de 3
si n est de la forme 3k+1, alors n+8 est un multiple de 3, donc le nombre est un multiple de 3
si n est de la forme 3k+2, alors n+13 est un multiple de 3, donc le nombre est un multiple de 3

Ainsi, le nombre est un multiple de 3 et de 2, donc un multiple de 6