produit de 2 fonctions croissantes

[andretou]

Bonjour à tous
Le produit de deux fonctions croissantes (sur un intervalle donné) est-il nécessairement une fonction croissante sur cet intervalle ?
A priori je dirais que oui, mais comment le démontrer ?
Merci pour votre aide.
-----

[Resartus]

Bonjour,
Cela ne marche que si elles sont toutes les deux positives... Et quelques inégalités devraient alors suffire à le démontrer

[PlaneteF]

Bonjour,

A priori je dirais que oui, (...)

Vu que ça semble très mal barré ! ... En s'appuyant sur cette formule il n'est pas bien compliqué de concocter un contre-exemple.

Cordialement

[andretou]

Vu que ça semble très mal barré ! ... En s'appuyant sur cette formule il n'est pas bien compliqué de concocter un contre-exemple.

En effet, si u et v prennent des valeurs négatives alors le produit uv est une fonction décroissante.
Il faut donc que les fonctions soient positives et croissantes pour être certain que leur produit est une fonction croissante. Resartus a bien spécifié cette condition, tu en apportes la démonstration.
Merci à vous !

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

(...) tu en apportes la démonstration.

A ce stade je n'ai rien démontré du tout, je donnais juste la formule comme source d'inspiration pour un contre-exemple.

Maintenant utiliser cette formule pour une démonstration oblige de se poser la question de la dérivabilité des fonctions en jeu.

Personnellement je ferais ceci :

Dans le cas de fonctions croissantes positives, supposons . Démontrons alors que

A toi de jouer

Cordialement