Défis/problèmes ouverts

[V13]

Aller je me lance :

1)

Soient des réels de même signe.

Montrer que :



2)

Soient des réels tels que et

Montrer que :



Et


-----

[invite9dc7b526]

tiens un petit "défi" pas si facile: peut-on partitionner l'ensemble des entiers naturels en deux ensembles A et B de telle sorte que tout entier naturel puisse s'écrire comme somme de deux éléments distincts de A et comme somme de deux éléments distincts de B du même nombre (éventuellement nul) de façons?

[XxDestroyxX]

Bonsoir et merci à vous deux pour vos défis,
V13, je vais essayer mais ça risque de prendre du temps
minushabens, je suis pas très calé en problèmes sur les ensembles, ça risque d'être chaud pour moi ^^'
En tous cas, je peux essayer

[XxDestroyxX]

N'hésitez pas à proposer des problèmes, je dois préparer le concours général de maths (terminale) donc si vous avez des exercices de ce type, je vous en serai reconnaissant

[XxDestroyxX]

V13, j'ai tenté la 1), j'arrive à prouver que . Voici mon raisonnement :

Donc pour comparer et , il suffit de comparer et
On pose alors la fonction

Calculons le minimum de

On pose
Donc
Ainsi, et
Par contre, je n'arrive pas à trouver la preuve que .
Avez-vous un indice pour me mettre sur la voie ? Merci pour cet exercice

[invite51d17075]

bonsoir,
la seconde inégalité est immédiate car pout tout x e(x)>=1+x ,
la première se fait bien par récurrence.
( pour celle ci , il suffit de regarder le cas ou tous les ai sont négatifs , sinon c'est évident )

[invite62a323e3]

Minushabens C'est impossible non ? Puisque chez les naturels 0 ne peut etre obtenue que par la somme de 0 et 0
or un même nombre ne peut pas appartenir à deux ensembles dans cette question

De plus 1-1 correspond a la somme d'un entier naturel et d'un entier relatif
Donc selon moi c'est pas possible

[invite51d17075]

je ne comprend pas ta remarque : les ai sont >-1
et les deux inéquations sont justes et démontrables.

[invite62a323e3]

SI c'est à moi que vous parlez en fait je résolvais le problème de minushabens c'est à dire
"peut-on partitionner l'ensemble des entiers naturels en deux ensembles A et B de telle sorte que tout entier naturel puisse s'écrire comme somme de deux éléments distincts de A et comme somme de deux éléments distincts de B du même nombre (éventuellement nul) de façons?"

[XxDestroyxX]

Ok ansset, merci de l'indication, voici ma récurrence :
prouver que
Initialisation :


Vrai au rang 2.
Hérédité :
Je suppose qu'à un certain rang , , l'inéquation est vraie


On pose


Or
Donc
Or
Donc
Ainsi,
Donc
Conclusion :
Par récurrence,

Tout est bon ?

[XxDestroyxX]

Tpe de ssi, je me suis dis la même chose mais il se trouvait que j'avais mal compris la question (je crois), ce que tu dis est vrai, et du coup, 0 peut être écrit comme somme de deux entiers naturels dans les ensembles A et B un même nombre (ici nul) de façons. Enfin, je crois que c'est ça... Je me trompe ?

[invite51d17075]

je n'ai pas regarder en détail mais cela semble juste , il me semble que l'on peut simplifier un peu ( nb de lignes )
sinon, tu ne traites que le cas ou les ai sont négatifs, même si le cas ou ils sont positifs est immédiat, mais faut il encore le mentionner.

[XxDestroyxX]

Sûrement, j'ai tout (ou presque) détaillé au cas où je faisais des fautes de calcul ^^

[invite62a323e3]

J'ai mal lu effectivement :/

[XxDestroyxX]

Oui mais il faut qu'il y ait le même nombre de façons de faire un naturel dans chacun des ensembles A et B, là est la difficulté. Par exemple, si A contient 1 et 3 et que B contient 0 et 4, il y a une façon de faire le naturel 4 dans chaque ensemble : 1+3 dans A et 0+4 dans B (2+2 n'étant pas possible). Il y a donc le même nombre de façons de faire 4 dans chaque ensemble. La question est de savoir si A et B sont possibles tels que chaque naturel vérifie le même raisonnement si j'ai bien compris

[invite51d17075]

par contre ton initialisation n'est pas correcte.
tu ne peut pas prendre en cas particulier.
il suffit de remarquer que
(1+a1)(1+a2)=1+a1+a2+a1a2 >= 1+a1+a2 car a1a2 est positif ( deux termes négatifs ici )

[XxDestroyxX]

A oui, d'accord, je comprends, je le saurai, merci ansset