Défis/problèmes ouverts

[XxDestroyxX]

Bonjour (ou bonsoir), je suis en terminale et je m'intéresse beaucoup aux mathématiques. Du coup, je m'avance sur le programme (sur les sujets qui m'intéressent). J'adore me creuser la tête sur des sujets difficiles. Pourriez-vous, si vous en avez, me proposer quelques exercices défis ou problèmes ouverts mathématiques ? Par exemple, j'ai ouvert il y a quelques temps une discussion où je parlais d'un défi qu'avait posé mon prof de physique, en avez-vous de ce genre ou alors un site où je peux en trouver ? Les sujets qui me passionnent sont à peu près tous ce qui est en rapport avec les calculs hormis les stats et les probas.
Je vous remercie d'avance
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[jacknicklaus]

Un petit défi : regarde l'exercice 4 du problème de Maths du bac S 2017, enseignement spécialité.
Le défi : remplacer la question 4 de la partie B par cette question : "exprimer de la manière la plus simple possible, Xn en fonction de n".

[XxDestroyxX]

Bonsoir, d'abord, merci d'avoir répondu si brièvement. Vous parlez bien de l'exercice sur la propagation du virus ? C'est drôle car je l'avais à faire en DM pour jeudi, du coup, je l'ai déjà fais. Par ailleurs, si c'est bien cela, c'est une très bonne idée, merci
Bonne soirée

[jacknicklaus]

non, pas du tout. je parle de celui ci là :
http://www.sujetdebac.fr/annales-pdf...t-officiel.pdf
la dernière question du dernier exercice en page 6, portant sur le "triangle rectangle presque isocèle".

Le défi : remplacer la question 4 de la partie B par cette question : "exprimer de la manière la plus simple possible, Xn en fonction de n".

[A voir en vidéo sur Futura]

[XxDestroyxX]

De bonjour, d'accord, je me disais que j'allais pas aller loin avec ça ^^'
Pour l'exercice, je me suis pas assez familiarisé avec les matrices mais je vais tenté quand même de le faire.
Juste une question pour voir si j'y arrive à peu près : est-ce que et ont bien ces expressions en fonction de et ?

[jacknicklaus]

oui à ta question.

tu as déjà terminé la partie A ?
quelle est ta réponse à la question 4 de la partie A ?

réponds à toutes les question de cet exercice (parties A et B) avant de t'attaquer à exprimer Xn en fonction de n

[XxDestroyxX]

Pour le A) 4), je ne suis pas sur mais je suis parti sur un raisonnement par l'absurde. Voici mon raisonnement :
Si et ne sont pas premiers entre eux, on peut écrire

On a donc donc

On a donc
Il faut que donc que , par ailleurs, il faut aussi que donc que or comme , c'est impossible.
On a par ailleurs

Donc
Il faut aussi que
Là je bloque un peu, j'étais parti sur étudier les cas où k est pair et où k est impair mais je crois pas que ça fera avancer... À mon avis, je suis partis sur une mauvaise piste non ?

[jacknicklaus]

oui, il y a plus simple.

Mot clé = Bezout.

[XxDestroyxX]

Ok, merci, je ne connaissais pas ce théorème, je m'étais pas avancé dessus. Du coup, oui, ça simplifie bien les choses :
et sont premiers entre eux ssi on peut écrire
Or
On a et
Ainsi, et sont premiers entre eux.

[jacknicklaus]

yes !
tu avances bien.
Tu attaques le B et le petit "défi" ?

[XxDestroyxX]

Vous êtes sûr que c'est possible de trouver ? Vu que dépend aussi de et que dépend de ...
Il faut faire un système ? Ou alors essayer de trouver une suite auxiliaire ? Je sais vraiment pas comment faire pour le coup...

[jacknicklaus]

tu as affaire à une suite de vecteurs Un+1 = A.Un + B où Un est un vecteur (Xn,Yn), B un autre vecteur (1,2) et A une matrice
commence par exprimer Un en fonction de n, A, B, U0. ce n'est pas trop difficile.
tu verras un terme horrible en A^n

pour le calculer, l'idée est de transformer cette matrice compliquée en une autre dont l'expression ne comporte que des termes sur la diagonale. Dans un tel cas, il devient très facile de calculer A^n : il suffit de mettre chacun des termes de la diagonale à la puissance n.

celà s'appelle "diagonaliser une matrice". Connais tu cette technique ?

sinon, regarde là , elle est très très utile à connaître, c'est vraiment un outil important avec énormément d'applications. Je recommande de "t'avancer" la dessus.

Je te laisse regarder, si c'est trop compliqué et que tu es intéressé, je peux t'envoyer , à titre d'exemple, le résultat de
l'application de cette technique à ce problème.

[XxDestroyxX]

On parle bien de la diagonalisation qui fait intervenir ?
Dans ce cas, je trouve des résultats bizarres...
De plus, on a bien dans ce défi

Avec ?

[XxDestroyxX]

Pas de réponse ?

[ID123]

Hello.

En fait je suis jacknicklaus, et mon compte est bloqué depuis plusieurs jours, j'espère qu'un modo pourra résoudre le problème.
(cf mes premiers messages avec ce compte)

On parle bien de la diagonalisation qui fait intervenir ?

oui, tout à fait.

Avec ?

Non. En fait

Si tu as un problème pour continuer, la solution est dessous :

 Cliquez pour afficher

[XxDestroyxX]

Bonsoir, ayant déjà fais les calculs depuis (relativement) longtemps, j'ai délaissé un peu ce défi en attendant votre réponse. J'ai trouvé un résultat assez bizarre (à mon goût). Voici mes calculs pour
MathMagic171121_1.jpg

[ID123]

tu fais une erreur de calcul pour P^-1. Dans ton calcul, son déterminant = 0, ce qui est impossible pour une matrice de passage. Quand tu auras la bonne expression de A^k, il te faudra établir le calcul de Uⁿ en fonction de n. Tu devrais retrouver la formule que je donne dans la pièce jointe de mon précédent message. Pour tester, il suffit de calculer la composante en X et de vérifier pour quelques valeurs de X que la formule donne bien un X tel que X² + (X+1)² est un carré.

[XxDestroyxX]

Bonsoir; je suis arrivé au même résultat que vous pour mais je n'ai pas réussis à le simplifier comme vous l'avez fais.
Comment avez vous simplifié sur cette ligne ?

[V13]

Quelques exos

[ID123]

mais je n'ai pas réussis à le simplifier comme vous l'avez fais.
Comment avez vous simplifié sur cette ligne ?
Pièce jointe 354941

c'est un simple produit de 3 matrices 2x2. On fait deux à deux pour commencer, avec une des deux étant diagonale le calcul est très facile. Puis on fait le second produit. Dans la matrice finale, on factorise alors les termes en lambda et en mu, qui viennent en facteur de deux matrices 2x2. On peut fort bien zapper cette étape de factorisation, c'est juste pour faire plus joli, ca n'intervient pas dans le calcul final.

[andretou]

Bonjour Destroy
Je me demande combien de temps tu vas mettre pour trouver une primitive de ln(x)
Top je lance le chrono !

[Deedee81]

Salut,

Tu plaisantes ? C'est dans wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Table_...ns_logarithmes
Faut proposer des défis dont la solution n'est pas évidente, si possible

[andretou]

Certes, mais Wikipedia n'indique pas comment on trouve cette primitive.
Destroy trouvera-t-il l'astuce ?

[Deedee81]

Certes, mais Wikipedia n'indique pas comment on trouve cette primitive.
Destroy trouvera-t-il l'astuce ?

Ah, ça c'est peut-être plus difficile, en effet. Je n'ai jamais cherché

[XxDestroyxX]

Bonsoir, d'abord, merci andretou pour ton petit défi, je l'ai bien aimé
Voici les détails de ma pensée :
Pour répondre à la question je dirai que comme n'a pas de calcul à proprement parler, il faut forcément le mettre dans la formule (que l'on cherche).
On cherche une formule contenant telle que si on la dérive, on tombe sur . Sachant que la dérivée de est , il faudrait le multiplier par pour faire disparaître le terme en x. Après avoir galéré à essayer de trouver un (seul) terme dont la dérivée serait (genre qui donne qu'il faudrait diviser par bon bref...), je me suis dis "et si ce n'était pas une formule avec un seul terme mais avec plusieurs termes et avec une opération ?". Après cette réflexion (et peut-être avec de la chance), j'ai essayé le produit avec .
Ainsi, en dérivant, je me retrouve avec plus une constante :

Après, est-ce l'astuce ? Je ne pense pas, si ce n'est pas le cas, j'aimerai bien la connaître

Oups, je rectifie, il faut enlever x dans la formule pour faire disparaître le 1 ^^'
Bonne formule : f(x) = x*ln(x)-x

[XxDestroyxX]

D'accord Jackniklaus, je vais essayer d'arriver à ce résultat
Merci V13, je m'y mettrai quand je pourrais

[andretou]

Pour répondre à la question je dirai que comme n'a pas de calcul à proprement parler, il faut forcément le mettre dans la formule (que l'on cherche).
On cherche une formule contenant telle que si on la dérive, on tombe sur .

Bien pensé Destroy ! Voici l'astuce. Il faut partir de la formule standard de dérivation : (uv)' = vu' + uv'
Or, si (uv)' = vu' + uv', alors




A ce stade, tu poses simplement vu' = ln(x) (avec v=ln(x) et u'=1, donc v'=1/x et u=x)

D'où


Cette méthode s'appelle "l'intégration par parties" et permet parfois d'obtenir des primitives que l'on ne peut pas trouver autrement.

[Deedee81]

Salut,

L'intégration par partie, c'est très connu. Mais il fallait y penser. Joli

[gg0]

Ce qu'a expliqué Andretou est un exemple classique des cours sur la méthode d'intégration par parties.

[XxDestroyxX]

Ok, je m'en souviendrai, belle technique, honnêtement, je n'y aurais pas pensé