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Résolution d'équation

  1. #1
    Matlabo

    Résolution d'équation

    Bonjour ou bonsoir,
    Je me demandais si vous pourriez m'aider à trouver la valeur de a et b dans ceçi:

    On a

    a^2 + b^2 = 9
    2ab = 2√5

    J'ai déjà essayé de la résoudre pour trouver la valeur de a et b pour que dans la première équation on trouve 9 et dans la deuxième on trouve 2√5.

    Merci

    Ps: par intuition j'ai trouvé que la valeur de a sera 2 et la valeur de b sera √5.
    Mais j'aimerai avoir la méthode.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour.

    A priori, il y a plusieurs solutions.

    Une méthode générale :
    La deuxième équation montre que a est non nul. On peut alors calculer b en fonction de a ("tirer b de l'équation"), puis remplacer dans la première. On obtient une équation en a qu'on résout.

    Une méthode particulière ici :
    en additionnant les deux équations, on trouve la valeur de (a+b)², on en déduit celle de a+b (2 cas). Pour chaque cas, on a la valeur de S =a+b et de P=ab, on en déduit que a et b sont les racines de l'équation x²-Sx+P=0. On résout, et on obtient éventuellement les deux couples de solutions. Finalement, on a jusqu'à 4 couples de solutions.

    Bon travail !

    NB : si tu bloques en faisant le travail, expose ce que tu as fait, on t'aidera à continuer.

  4. #3
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour,
    Dsl, j’au umpeu tarder à répondre
    Et oui j’ai déja essayer de la résoudre de cette façon mais j’ai eu quelques difficultés.

    On a:
    a^2 + b^2 = 9
    b^2 = 9 - a^2
    b = √(9-a^2)

    b = 3 - a

    2ab = 2√5
    ab = √5
    a ( 3 - a ) = √5

    3a - a^2 = √5

    Puis, c’est là que j’ai du mal à continuer, j’ai quelques hypothèse mais j’aimerai avoir la votre.

    Quant à l’autre méthode je croyais que pour additioner fallait d’abord opposé 2 facteurs pour qu’on les additionnant on trouve 0 .

    Sinon çi ce n’est pad cette technique que vous aviez écris j’aimerai que vous me l’expliquez d’avantage.

    Merci beaucoup.

  5. #4
    gg0

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour.

    Tu n'as pas pris la façon la plus facile, sans compter que tu fais une énorme erreur :
    "b = √(9-a^2)

    b = 3 - a"
    Si b=3-a, alors b²=(3-a)² qui fait 9+a²-6a, pas 9-a².

    je suis aussi surpris que tu n'arrives pas à continuer (*) après 3a - a^2 = √5 qui est une banale équation du second degré ! A moins que tu sois en seconde, mais on ne donne pas ce genre d'exercice en seconde.

    La méthode est bien plus simple en faisant ce que je te propose.

    "Quant à l’autre méthode je croyais que pour additioner fallait d’abord opposé 2 facteurs pour qu’on les additionnant on trouve 0 ." ?? parce que tu as fait un exercice qui utilisait cette simplification, tu crois qu'on n'a pas le droit d'appliquer les règles des maths autrement ???
    C'est quand même évident que si U=V et U'=V', alors U+U'=V+V' quels que soient les nombres U (qui est U') et V (qui est V'). Et c'est une règle de base sur les équations, qu'on voit en troisième ou début de seconde. Qu'est-ce qui interdirait de faire ce calcul ?

    Ignorerais-tu que ce qui compte dans ton apprentissage c'est de connaître les règles ? Et une fois qu'elles sont connues, de ne travailler qu'en appliquant des règles. Après, on voit des applications un peu systématiques (exercices du même genre) auxquelles on s'habitue.
    Mais en aucun cas, il n'est interdit de faire un calcul parce qu'il "ne fait pas comme d'habitude".

    Allez, au travail, sans erreur de calcul, en appliquant l'une des méthodes que je t'ai signalée.

    (*) même si ça ne sert à rien, puisque c'est faux !

  6. #5
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour, ( désolé j'ai encore tardé à répondre )

    Merci pour votre réponse et oui je me doutais bien que j'avais fait une faute et aussi que c'est vrai que je suis en 1AS et aussi qu’on est pas vraiment entrer dans la résolution des équations de second degré mais je me suis renseigné un peu sur ce sujet.

    Et en vérité l'origine de ces deux équations c'est qu'on nous a demandé de calculer ceci par exemple

    A = √(9-4√5) √(9+4√5)
    Et je me suis dit qu'en mettant ce qui est dans la racine carrée au carré comme (a+b)^2 je pourrais résoudre.

    Donc on a

    9-4√5 = a^2 + b^2 - 2ab

    Et on déduit que

    a^2 + b^2 = 9
    2ab =4√5

    En résolvant on trouvera la valeur de a et b.

    " C'est quand même évident
    si U=V et U'=V', alors U+U'=V+V' quels que soient les nombres U (qui est U') et V (qui est V').
    c'est une règle de base sur les équations, qu'on voit en troisième ou début de seconde. Qu'est-ce qui interdirait de faire ce calcul ?”

    Oui oui j'ai bien compris mais quelle est la valeur de U et quelle est la valeur de V , U’ et V’

    On a

    a^2 + b^2 = 9
    2ab =4√5. donc ab = 2√5

    Alors
    b^2 = 9-a^2

    Possible que je me trompe

    b = √(9-a^2)

    C’est là qu’on déduit que
    9 - a^2 ≥ 0

    Alors

    3 ≥ a ≥ -3



    Ce serait bien si vous m'expliquiez davantage cette façon de résoudre et aussi la deuxième.

    Merci beaucoup.

  7. #6
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    J'ai changé
    2 √5 par 4√5

  8. #7
    gg0

    Re : Résolution d'équation

    En fait, ce qui compte pour simplifier c'est que a et b soient simples. Et tu ne cherches pas toutes les solutions.
    En passant au carré sur la deuxième équation, tu obtiens a²b²=20
    Posons x=a² et y=b². On a:
    x+y=9
    xy=20

    Il y a une solution évidente (comparaison des tables d'addition et de multiplication), mais on peut la retrouver par ce calcul :
    y=20/x
    donc x+20/x=9
    en multipliant par x :
    x²+20=9x
    x²-9x+20 = 0
    Delta = 81-4*1*20 = 1
    x=(9-1)/2 ou x=(9+1)/2
    x=4 ou x=5
    si x=4, y=5, si x=5, y=4
    donc a=2 et b=√5 (ou l'inverse).

    ce qui compte, ici, c'est que Delta soit un carré, sinon on complique.

    Pour l'autre méthode, en additionnant les deux équations on obtient
    a²+b²+2ab= 9+4√5.
    (a+b)²=9+4√5.
    Et dans ce cas, on peut continuer, et trouver a+b, puis, comme au dessus, a et b. mais ça ne donnera une expression simple que si on sait transformer 9+4√5 en un carré. On tourne en rond.

    Cordialement.

  9. #8
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour;
    Merci pour vos explications j'ai bien compris.

    Merci

  10. #9
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Salut;

    Je relance la discussion et j'aimerai savoir pourquoi:
    y=20/x
    donc x+20/x=9
    x²+20=9x

    Pourquoi multiplié par x ???

    On a qu'a à calculer
    x+20/x=9

    Nn ? Oui je sais non car on trouve pas le résultat mais pourquoi?

    Merci beaucoup .

  11. #10
    God's Breath

    Re : Résolution d'équation

    Citation Envoyé par Matlabo Voir le message
    Pourquoi multiplié par x ???
    Pour se débarrasser du dénominateur et obtenir une équation polynomiale : on préfère, et de loin, les sympathiques équations polynomiales aux équations rationnelles avec de vilains dénominateurs qui pourraient avoir le mauvais goût de s'annuler.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #11
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Ok d'accord .

    Merci

  13. #12
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Salut;

    Je reeeelance le topic...

    Bon alors cette fois çi je l'ai pas remarqué au début....... Mais :

    x²+20=9x
    x²-9x+20 = 0
    Delta = 81-4*1*20 = 1
    x=(9-1)/2 ou x=(9+1)/2
    x=4 ou x=5
    si x=4, y=5, si x=5, y=4
    donc a=2 et b=√5 (ou l'inverse)."

    On a bien trouvé ∆ =1 alors pourquoi on a pas fait x=-b\2a à la place de -b-√∆\2a et -b+√∆\2a et donc trouver une seule solution ?????

    Merci

  14. #13
    gg0

    Re : Résolution d'équation

    Drôle de question !

    Tu demandes pourquoi on a appliqué la méthode qui donne les solutions à la place d'un calcul faux !!
    Revois un cours sur la résolution des équations du second degré.

    Cordialement.

  15. #14
    jacknicklaus

    Re : Résolution d'équation

    Citation Envoyé par Matlabo Voir le message
    Et en vérité l'origine de ces deux équations c'est qu'on nous a demandé de calculer ceci par exemple
    A = √(9-4√5) √(9+4√5)
    Si on revient au début, clairement l'idée de "solution" ...
    Citation Envoyé par Matlabo Voir le message
    Et je me suis dit qu'en mettant ce qui est dans la racine carrée au carré comme (a+b)^2 je pourrais résoudre.
    ... est extrêmement compliquée.


    Il suffit de remarquer que sous les racines, on a une forme (a-b)(a+b) = a²-b²

    √(9-4√5) √(9+4√5) = √(9²-4².5) = 1
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  16. #15
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Salut;

    Oui d'accord c'est vrai que si on veut résoudre √(9-4√5) √(9+4√5) on fait ce que tu as dit mais si on nous demande de mettre 9+4√5 au carrée on serait obligé de faire comme on l'a résolut au début ce qui m'amene donc à ma question on l'a pas encore fait en classe mais j'ai trouvé dans mon livre et sur le net que quand on ∆=1 on fait x= -b\2a

    Alors, c'est que je saisi pas trop......

    Merci

  17. #16
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Ah oui j'ai aussi une autre qustion sur les fonctions, j'ai fait quelques recherches et j'ai trouvé que la courbe d'une fonction ne pouvait couper q'une seule fois l'axe des ordonnés et la question c'est pourquoi elle ne peut le couper q'une seule fois et comment déterminer que c'est le cas. Mais.... J'ai aussi trouvé divers fonctions qui le coupe en plus d'une fois???? Comme la fonction rond ?????


    Ps: je ne sais pas si je devrais ouvrir un autre topic

  18. #17
    gg0

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour.

    Il faudrait que tu apprennes ce qu'est une fonction et ce qu'on appelle la courbe d'une fonction :
    Si f est une fonction, f(x) est un nombre unique pour tout x du domaine de définition.
    La courbe de f est l'ensemble des (x,f(x)) pour x variant dans l'ensemble de définition.
    Peut-être aussi ce qu'est l'axe des ordonnées : Ensemble des points de coordonnées (0,y).
    Si 0 est dans le domaine de définition, il y a un seul point (0,f(0)) sur la courbe de f; si 0 n'est pas dans le domaine de définition, il n'y a pas de point de la courbe d'abscisse 0, la courbe ne coupe pas l'axe des ordonnées.

    Tout ça est du cours de fin de troisième début de seconde.

    "J'ai aussi trouvé diverses fonctions qui le coupent en plus d'une fois" !!! Ce sont des courbes, mais pas de fonctions.
    "Comme la fonction rond " ?? C'est quoi cette fonction ? Si tu veux parler d'un cercle, ce n'est pas la courbe d'une fonction !!

    Apprends vraiment le vocabulaire des mathématiques, les bases de chaque chapitre. Sinon, tu fais de la poésie, pas des maths.

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 23/01/2018 à 09h58.

  19. #18
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Ok d'accord
    Mais svp est ce que une fonction peut couper plus d'une fois l'axe des abscisses. Et si oui ou non alors pourquoi ?

    Et aussi si on a

    P(n)=n² + n + 17 avec n nombre naturel donne toujours un nombre premier.

    Encore merci

    Ps j'ai déja essayé pour le P mais on a pas fait ..... Je bloque..
    Dernière modification par Matlabo ; 23/01/2018 à 18h08.

  20. #19
    jacknicklaus

    Re : Résolution d'équation

    Citation Envoyé par Matlabo Voir le message
    Mais svp est ce que une fonction peut couper plus d'une fois l'axe des abscisses. Et si oui ou non alors pourquoi ?
    Incroyable cette question. Fais un dessin et trouve toi même la réponse !
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  21. #20
    jacknicklaus

    Re : Résolution d'équation

    Citation Envoyé par Matlabo Voir le message
    P(n)=n² + n + 17 avec n nombre naturel donne toujours un nombre premier.
    n'importe quoi.
    tu crois que P(17) est premier ???
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  22. #21
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    D'accord bon alors pour la1 ere j'ai trouvé on partant du principe que x pouvait avoir q'une seule valeur et si ce n'est pas le cas et bien alors le graph bah en fait ce n'est pas le graph d'une fonction...

    Et pour la 2 eme si je comprends bien tu as remplacé n par 17 et on trouve 323 qui n'est pas premier.c'est bien comme cela que tu as fait?

  23. #22
    gg0

    Re : Résolution d'équation

    "on partant du principe que x pouvait avoir q'une seule valeur"
    Quel français !! Là tu fais fort ! Et la réflexion personnelle est encore pire !

    Manifestement, tu écris des bouts de phrases sans t'occuper de ce qu'ils veulent dire, et tu n'as toujours pas commencé à comprendre ce qu'est une fonction. A chaque x on n'associe qu'une seule valeur. Une seule pour ce x. la même ou pas que pour un autre x. Que penses-tu de la fonction x-->0 (pour tout x, f(x)=0). Combien de points de sa courbe sont-ils sur l'axe des x ?
    NB : Réfléchis bien avant de répondre, et même mieux : revois tes cours de seconde sur les fonctions.

  24. #23
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    D'accord alors vous me demandez combien de points de la courbe de la fonction sont sur l'axe des X. Puisque que pour tout x f(x)=0. Bein si c'est bien cela alors tous les points de la courbe sont sur l'axe des X

    Dans tous les cas j'ai saisi pourquoi une courbe ne pouvait couper qu'une fois l'axe des ordonnées.

    Merci
    Dernière modification par Matlabo ; 23/01/2018 à 20h34.

  25. #24
    jacknicklaus

    Re : Résolution d'équation

    Citation Envoyé par Matlabo Voir le message
    Et pour la 2 eme si je comprends bien tu as remplacé n par 17 et on trouve 323 qui n'est pas premier.c'est bien comme cela que tu as fait?
    Ben oui. Vu la forme de P(n), sans faire aucun calcul il est évident que P(17) est multiple de 17
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  26. #25
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Oui c'est vrai que c'est évident .

    Mais pour la 1 ere question
    Dans :
    "
    x²+20=9x
    x²-9x+20 = 0
    Delta = 81-4*1*20 = 1
    x=(9-1)/2 ou x=(9+1)/2
    x=4 ou x=5
    si x=4, y=5, si x=5, y=4
    donc a=2 et b=√5 (ou l'inverse)."

    On a bien trouvé ∆ =1 alors pourquoi on a pas fait x=-b\2a à la place de -b-√∆\2a et -b+√∆\2a et donc trouver une seule solution ?????

    Merci

  27. #26
    gg0

    Re : Résolution d'équation

    Cours :
    Si ∆ >0, il y a deux solutions, (-b-√∆)/(2a) et (-b+√∆)/(2a). A ma connaissance, 1>0, non ?

    Pourquoi ne pas apprendre tes leçons ? Vraiment !

  28. #27
    Matlabo

    Re : Résolution d'équation

    Ah ........ vraiment désolé...... j'ai oublié j'ai cru que si discriminant = 1 alors il y'a 2 solutions...............j'ai confondu .......

    merci

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