Bonjour,
Pour mon projet de SI (Bac S Tlle) j'aurais besoin de résoudre le système d'équation :
X = L1 * cos(α - β) - L2 * cos(β)
Y = L1 * sin(α - β) + L2 * sin(β)
Avec X, Y, L1 et L2 des constantes connues.
Quand je développe avec les formules cos(a+b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) et sin(a+b) = sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b), je n'arrive pas à isoler α ou β, donc je reste bloqué.
Si vous avez des pistes, je suis preneur.
Merci d'avance.
Bonjour.
Il vaut mieux prendre comme inconnues α - β et β, tu en déduiras ensuite α.
En rajoutant cos²(α - β) + sin²(α - β) = 1 et sin²(β)+cos²(β)=1, tu devrais y arriver.
Bon travail !
bjr,
on peut ( sans tenir comte de cas particulier au départ )
multiplier les équations par sin(β) pour la première ) et cos(β) pourla seconde et faire une soustraction qui fait disparaître les L2.
on obtient une première équation simplifiée.
de même
multiplier la première par sin(α - β) et la seconde par cos(α - β) et on en obtient une autre .
Effectivement,
c'est mieux !
Salut Ansset !
Merci de votre aide. Avec la méthode d'Ansset, je trouve
X * sin(β) + Y * cos(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β)
X * sin(α - β) - Y * cos(α - β) = - L2 * sin(α - β) * cos(β) - L2 * sin(β) * cos(α - β)
Mais tout ce que j'arrive à en tirer c'est :
tan(β) = (L1 * sin(α - β) - Y) / (X - L1 * cos(α - β) )
tan(α - β) = (Y + L2 * sin(β) ) / (X - L2 * cos(β) )
Et là encore je ne vois pas.
je trouve bien plus simple que ça.Envoyé par Nathnos
remarque : je n'avais pas vu le signe +L2 au départ donc pour la première équation il faut donc additionner les deux et non soustraire pour celle ci.
Je viens de les refaire et je retombe sur la même chose (j'avais déjà vu qu'il fallait additionner la première fois).
Ce que je fais :
X = L1 * cos(α - β) - L2 * cos(β)
Y = L1 * sin(α - β) + L2 * sin(β)
X * sin(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β) - L2 * cos(β) * sin(β)
Y * cos(β) = L1 * sin(α - β) * cos(β) + L2 * sin(β) * cos(β)
X * sin(β) + Y * cos(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β)
X * sin(α - β) = L1 * cos(α - β) * sin(α - β) - L2 * cos(β) * sin(α - β)
Y * cos(α - β) = L1 * sin(α - β) * cos(α - β) + L2 * sin(β) * cos(α - β)
X * sin(α - β) - Y * cos(α - β) = - L2 * sin(α - β) * cos(β) - L2 * sin(β) * cos(α - β)
c'est déjà faux pour celle ci
on a
X * sin(β) + Y * cos(β) =L1(sin(α - β) * cos(β)+cos(α - β) * sin(β))
le terme sous la parenthèse est du type sin(a+b) avec a =α - β et b= β, donc a+b=α , d'où
X * sin(β) + Y * cos(β) =L1sin(α)
Il y a une erreur sur ce qui est multiplié par L1. (je n'avais pas encore le message précédent, Ansset a fait la rectification)
Mais finalement, on se retrouve avec un système aussi compliqué à traiter.
A priori, déjà les expressions de sin(α - β), cos(α - β), sin(β) et cos(β) sont assez compliquées à écrire, si les constantes sont quelconques, et n'existent pas toujours, alors celles de α - β et β ....
Tu peux déjà poser sin(α - β) = a, cos(α - β)=b, sin(β)=c et cos(β)=d, et résoudre le système de 4 équations à 4 inconnues (les deux équations, plus a²+b²=1 et c²+d²=1). Tu verras ...
Dans quelles conditions dois-tu résoudre ce système ?
bjr,
j'allais faire la même réflexion.
( au départ ,je n'ai cherché qu'un moyen de simplifier les équations )
n'y a t il aucune indication sur les X,Y, L1 et L2?
L1 et L2 sont des distances que j'ai mesuré.
X et Y sont des coordonnés que l'on veut obtenir avec la main d'un bras robotique. Je dois le résoudre ce système de façon automatisée. Par exemple si on veut monter de 13 cm sans bouger horizontalement, les nouvelles coordonnés seront X' = X et Y' = Y + 13. Et il faut trouver le couple (α ; β) qui le permette. Alors oui il y a des limites : la portée maximale du bras, mais ce n'est pas un problème pour résoudre l'équation.
Sinon merci de l'astuce pour simplifier.
donc, il y a un lien ( bornes ) entre les X,Y et L1 ,L2.
il faut peut être reformuler le pb autrement, car tel que présenté , il n'y a pas forcement de solution , ou en cas de solution, pas forcement unicité.
question complémentaire donc.
comment est fait ton bras ( une ou deux articulations )et à quoi correspondent tes angles ?
Les mathématiques de la robotique sont très compliquées, en général. Dans ton cas, il y a une solution explicite, mais compliquée à écrire.
Le système que je t'ai proposé se résout par substitution, par exemple en calculant c et d en fonction de a et b dans les deux premières équations, puis remplaçant dans c²+d²=1; on développe, on simplifie (avec a²+b²=1), puis à nouveau une substitution (par exemple calculer b en fonction de a et remplacer dans a²+b²=1). On obtient une équation du second degré, dont il faut choisir la "bonne" solution (en supposant qu'il y a des solutions), puis on en déduit b, c et d, puis α - β et β, encore une fois en choisissant les bonnes valeurs (en fonction des conditions réelles). Tout ça est d'un niveau fin de lycée.
Amuse-toi bien.
Peut-être que je me complique la vie, il doit y avoir une façon plus simple d’exprimer les coordonnés. Si vous voyez comment faire, dites le moi.
En pièce jointe un schéma du problème.O et O2 sont des servomoteurs. M la main du robot.
il y a peut être une autre voie.
considérer le vecteur OM de norme rac(x²+y²) et d'angle gamma (OM,OY) facile à déterminer
on a déjà une première équation avec les angles
puis trouver une autre équation ( avec la loi des sinus par exemple ) tenant compte de la norme de OM et des longueurs des bras.
rappel de la loi des sinus:
je prend les notations usuelles que tu peux adapter en fonction de tes notations
soit un triangle ABC
l'angle en A et a la longueur du coté opposé à A
on a
c'est le S le plus directement utile ( surface du triangle )
p étant le périmètre , soit la somme des trois longueurs L1,L2 et OM que l'on connaît.
avec cela on en déduit tes angles.
attention , le béta ici n'est pas le béta de ton dessin mais on peut le déduire en fonction de la position de M.
attention aussi aux signes des angles à la fin.
enfin, il y a dans la majorité des cas 2 solutions symétriques, quand elles existent
p c'est le demi périmètre non ? En tout cas merci je vais chercher dans ce sens.
oui, demi-périmètre , pardon.
Un grand merci à vous, j'ai les formules que je cherchait maintenant !
OK, mais méfie toi quand même des valeurs obtenues car pour un sin donné tu peux avoir 2 valeurs d'angles.
on peut envisager une autre méthode plus analytique qui consisterait à écrire
ou
et M la norme de OM
On en déduit
d'où deux équations faisant intervenir les sin et cos des différences d'angles
on en déduit dans un premier temps avec quelque manip
ce qui donne deux solutions ( mais qui correspondent aux deux possibilité symétriques )
Ne t'en fait pas, j'ai trouvé le moyen de déterminer le bon angle. En gros, si l'angle est aigu, arcsin me donne la bonne valeur. Or ici γ est toujours aigu. Je calcule α avec arcsin, et j'en déduit β avec 180 - γ - α. Ensuite je trouve l'autre couple (α ; β) en prenant arcsin β et en déduisant α. Grâce aux premières formules que j'ai donné, et en retrouvant l'angle que j’appelais β au début, je teste les deux couples et garde celui qui marche.
OK,
comme tu fais la vérif, tout va bien.
jste un détail, pourquoi toujours aigu ? ( mais je ne sais de quel angle tu parles ).
hm...
je verrai le problème autrement. La position à calculer est celle du point O2, qui est intersection du cercle de centre O et de rayon le longueur le bras L1, et du cercle de centre M est de rayon la longueur du bras L2.
puis en déduire alpha et bêta.
c'est bien vu.
gamma c'est l'angle (O2M ; OM). Sinon j'ai utilisé le cercle quand j'ai élargi le problème en 3D.
