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Système d'équation à 2 angles inconnus

  1. #1
    Nathnos

    Système d'équation à 2 angles inconnus

    Bonjour,
    Pour mon projet de SI (Bac S Tlle) j'aurais besoin de résoudre le système d'équation :
    X = L1 * cos(α - β) - L2 * cos(β)
    Y = L1 * sin(α - β) + L2 * sin(β)
    Avec X, Y, L1 et L2 des constantes connues.

    Quand je développe avec les formules cos(a+b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) et sin(a+b) = sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b), je n'arrive pas à isoler α ou β, donc je reste bloqué.
    Si vous avez des pistes, je suis preneur.
    Merci d'avance.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Bonjour.

    Il vaut mieux prendre comme inconnues α - β et β, tu en déduiras ensuite α.
    En rajoutant cos²(α - β) + sin²(α - β) = 1 et sin²(β)+cos²(β)=1, tu devrais y arriver.

    Bon travail !

  4. #3
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    bjr,
    on peut ( sans tenir comte de cas particulier au départ )
    multiplier les équations par sin(β) pour la première ) et cos(β) pourla seconde et faire une soustraction qui fait disparaître les L2.
    on obtient une première équation simplifiée.
    de même
    multiplier la première par sin(α - β) et la seconde par cos(α - β) et on en obtient une autre .
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    gg0

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Effectivement,

    c'est mieux !

    Salut Ansset !

  6. #5
    Nathnos

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Merci de votre aide. Avec la méthode d'Ansset, je trouve
    X * sin(β) + Y * cos(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β)
    X * sin(α - β) - Y * cos(α - β) = - L2 * sin(α - β) * cos(β) - L2 * sin(β) * cos(α - β)

    Mais tout ce que j'arrive à en tirer c'est :
    tan(β) = (L1 * sin(α - β) - Y) / (X - L1 * cos(α - β) )
    tan(α - β) = (Y + L2 * sin(β) ) / (X - L2 * cos(β) )
    Et là encore je ne vois pas.

  7. #6
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Citation Envoyé par Nathnos Voir le message
    Merci de votre aide. Avec la méthode d'Ansset, je trouve
    .
    je trouve bien plus simple que ça.
    remarque : je n'avais pas vu le signe +L2 au départ donc pour la première équation il faut donc additionner les deux et non soustraire pour celle ci.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #7
    Nathnos

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Je viens de les refaire et je retombe sur la même chose (j'avais déjà vu qu'il fallait additionner la première fois).
    Ce que je fais :
    X = L1 * cos(α - β) - L2 * cos(β)
    Y = L1 * sin(α - β) + L2 * sin(β)

    X * sin(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β) - L2 * cos(β) * sin(β)
    Y * cos(β) = L1 * sin(α - β) * cos(β) + L2 * sin(β) * cos(β)
    X * sin(β) + Y * cos(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β)

    X * sin(α - β) = L1 * cos(α - β) * sin(α - β) - L2 * cos(β) * sin(α - β)
    Y * cos(α - β) = L1 * sin(α - β) * cos(α - β) + L2 * sin(β) * cos(α - β)
    X * sin(α - β) - Y * cos(α - β) = - L2 * sin(α - β) * cos(β) - L2 * sin(β) * cos(α - β)

  9. #8
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Citation Envoyé par Nathnos Voir le message
    Ce que je fais :
    X = L1 * cos(α - β) - L2 * cos(β)
    Y = L1 * sin(α - β) + L2 * sin(β)

    X * sin(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β) - L2 * cos(β) * sin(β)
    Y * cos(β) = L1 * sin(α - β) * cos(β) + L2 * sin(β) * cos(β)
    X * sin(β) + Y * cos(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β)
    c'est déjà faux pour celle ci
    on a
    X * sin(β) + Y * cos(β) =L1(sin(α - β) * cos(β)+cos(α - β) * sin(β))
    le terme sous la parenthèse est du type sin(a+b) avec a =α - β et b= β, donc a+b=α , d'où
    X * sin(β) + Y * cos(β) =L1sin(α)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    gg0

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Il y a une erreur sur ce qui est multiplié par L1. (je n'avais pas encore le message précédent, Ansset a fait la rectification)

    Mais finalement, on se retrouve avec un système aussi compliqué à traiter.
    A priori, déjà les expressions de sin(α - β), cos(α - β), sin(β) et cos(β) sont assez compliquées à écrire, si les constantes sont quelconques, et n'existent pas toujours, alors celles de α - β et β ....

    Tu peux déjà poser sin(α - β) = a, cos(α - β)=b, sin(β)=c et cos(β)=d, et résoudre le système de 4 équations à 4 inconnues (les deux équations, plus a²+b²=1 et c²+d²=1). Tu verras ...

    Dans quelles conditions dois-tu résoudre ce système ?

  11. #10
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Mais finalement, on se retrouve avec un système aussi compliqué à traiter.
    ...
    Dans quelles conditions dois-tu résoudre ce système ?
    bjr,
    j'allais faire la même réflexion.
    ( au départ ,je n'ai cherché qu'un moyen de simplifier les équations )
    n'y a t il aucune indication sur les X,Y, L1 et L2?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #11
    Nathnos

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    L1 et L2 sont des distances que j'ai mesuré.
    X et Y sont des coordonnés que l'on veut obtenir avec la main d'un bras robotique. Je dois le résoudre ce système de façon automatisée. Par exemple si on veut monter de 13 cm sans bouger horizontalement, les nouvelles coordonnés seront X' = X et Y' = Y + 13. Et il faut trouver le couple (α ; β) qui le permette. Alors oui il y a des limites : la portée maximale du bras, mais ce n'est pas un problème pour résoudre l'équation.
    Sinon merci de l'astuce pour simplifier.
    Dernière modification par Nathnos ; 17/12/2017 à 10h52.

  13. #12
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Citation Envoyé par Nathnos Voir le message
    L1 et L2 sont des distances que j'ai mesuré.
    X et Y sont des coordonnés que l'on veut obtenir avec la main d'un bras robotique..
    donc, il y a un lien ( bornes ) entre les X,Y et L1 ,L2.
    il faut peut être reformuler le pb autrement, car tel que présenté , il n'y a pas forcement de solution , ou en cas de solution, pas forcement unicité.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #13
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    question complémentaire donc.
    comment est fait ton bras ( une ou deux articulations )et à quoi correspondent tes angles ?
    Dernière modification par ansset ; 17/12/2017 à 10h59.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #14
    gg0

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Les mathématiques de la robotique sont très compliquées, en général. Dans ton cas, il y a une solution explicite, mais compliquée à écrire.
    Le système que je t'ai proposé se résout par substitution, par exemple en calculant c et d en fonction de a et b dans les deux premières équations, puis remplaçant dans c²+d²=1; on développe, on simplifie (avec a²+b²=1), puis à nouveau une substitution (par exemple calculer b en fonction de a et remplacer dans a²+b²=1). On obtient une équation du second degré, dont il faut choisir la "bonne" solution (en supposant qu'il y a des solutions), puis on en déduit b, c et d, puis α - β et β, encore une fois en choisissant les bonnes valeurs (en fonction des conditions réelles). Tout ça est d'un niveau fin de lycée.

    Amuse-toi bien.

  16. #15
    Nathnos

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Peut-être que je me complique la vie, il doit y avoir une façon plus simple d’exprimer les coordonnés. Si vous voyez comment faire, dites le moi.
    En pièce jointe un schéma du problème.O et O2 sont des servomoteurs. M la main du robot.
    Images attachées Images attachées

  17. #16
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    il y a peut être une autre voie.
    considérer le vecteur OM de norme rac(x²+y²) et d'angle gamma (OM,OY) facile à déterminer
    on a déjà une première équation avec les angles
    puis trouver une autre équation ( avec la loi des sinus par exemple ) tenant compte de la norme de OM et des longueurs des bras.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #17
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    rappel de la loi des sinus:
    je prend les notations usuelles que tu peux adapter en fonction de tes notations
    soit un triangle ABC
    l'angle en A et a la longueur du coté opposé à A
    l'angle en B et b la longueur du coté opposé à B
    l'angle en C et c la longueur du coté opposé à C
    on a

    c'est le S le plus directement utile ( surface du triangle )

    p étant le périmètre , soit la somme des trois longueurs L1,L2 et OM que l'on connaît.
    avec cela on en déduit tes angles.
    attention , le béta ici n'est pas le béta de ton dessin mais on peut le déduire en fonction de la position de M.
    attention aussi aux signes des angles à la fin.
    enfin, il y a dans la majorité des cas 2 solutions symétriques, quand elles existent
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #18
    Nathnos

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    p c'est le demi périmètre non ? En tout cas merci je vais chercher dans ce sens.

  20. #19
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    oui, demi-périmètre , pardon.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #20
    Nathnos

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Un grand merci à vous, j'ai les formules que je cherchait maintenant !

  22. #21
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    OK, mais méfie toi quand même des valeurs obtenues car pour un sin donné tu peux avoir 2 valeurs d'angles.
    on peut envisager une autre méthode plus analytique qui consisterait à écrire

    ou
    est l'angle du bras initial / l'axe Ox
    est l'angle du bras secondaire / l'axe Ox
    est l'angle OM / l'axe Ox
    et M la norme de OM
    On en déduit

    d'où deux équations faisant intervenir les sin et cos des différences d'angles
    on en déduit dans un premier temps avec quelque manip
    ce qui donne deux solutions ( mais qui correspondent aux deux possibilité symétriques )
    Dernière modification par ansset ; 17/12/2017 à 19h27.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  23. #22
    Nathnos

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Ne t'en fait pas, j'ai trouvé le moyen de déterminer le bon angle. En gros, si l'angle est aigu, arcsin me donne la bonne valeur. Or ici γ est toujours aigu. Je calcule α avec arcsin, et j'en déduit β avec 180 - γ - α. Ensuite je trouve l'autre couple (α ; β) en prenant arcsin β et en déduisant α. Grâce aux premières formules que j'ai donné, et en retrouvant l'angle que j’appelais β au début, je teste les deux couples et garde celui qui marche.
    Dernière modification par Nathnos ; 17/12/2017 à 21h14.

  24. #23
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    OK,
    comme tu fais la vérif, tout va bien.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #24
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    jste un détail, pourquoi toujours aigu ? ( mais je ne sais de quel angle tu parles ).
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #25
    ID123

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    hm...


    je verrai le problème autrement. La position à calculer est celle du point O2, qui est intersection du cercle de centre O et de rayon le longueur le bras L1, et du cercle de centre M est de rayon la longueur du bras L2.
    puis en déduire alpha et bêta.

  27. #26
    ansset

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    c'est bien vu.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #27
    Nathnos

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    gamma c'est l'angle (O2M ; OM). Sinon j'ai utilisé le cercle quand j'ai élargi le problème en 3D.

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