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Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

  1. #1
    XxDestroyxX

    Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    Bonjour, j'ai trouvé, une contradiction sur la somme infinie des entiers naturels. D'abord voici la démonstration classique de ce résultat :
    Soit
    On a alors
    On a donc donc
    Soit en suite
    On a
    ---------------------
    On voit que
    On a alors
    Enfin, soit

    ---------------

    On a donc d'où

    En cherchant, je me suis aperçu que

    ---------------------------------
    En réarrangeant les termes de la somme de la ligne si dessus, on voit qu'elle est égal à
    On a ainsi d'où .
    On aboutit à une contradiction .

    NB : ne faites pas attention aux petits tirets, ils sont juste là pour aligner les termes avec les termes de la ligne au dessus

    -----


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  3. #2
    God's Breath

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    Le problème vient de ce qu'en réarrangeant les termes de la somme, on change sa valeur.

    Voici un exemple simple :



    Lorsqu'on fait la somme ligne par ligne, chaque ligne a une somme nulle : et la somme totale est nulle.

    Lorsqu'on fait la somme colonne par colonne, la première colonne a la somme 1 et les autres colonnes ont une somme nulle : la somme totale est 1.

    C'est le fait de réarranger les termes pour les additionner dans un ordre différent qui change la valeur de la somme.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    XxDestroyxX

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    Oui, je le sais, autre exemple, très joli d'ailleurs :

    On peut réarranger les termes pour que cette somme soit égale à (le nombre d'or) ou les réarranger pour qu'elle soit égale à ou même à n'importe quel nombre , il suffit juste de choisir les termes positifs si la somme des termes avant est inférieur à et en choisir des négatifs si la somme des termes avant dépasse . Mais ça ne s'applique qu'à des sommes infinies où les termes sont alternativement positifs et négatifs non ? Car dans mon cas, je ne réarrange qu'une somme ne contenant que des termes positifs

  5. #4
    God's Breath

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    En fait tu as au premier membre la somme :

    et au second membre la somme :

    avec pour différence la somme :


    Tu pars du principe que cette somme vaut 1/2 parce que tu penses avoir prouvé :
    .

    Mais en fait :

    aussi bien que :

    et cette paire de valeurs fonctionne bien dans :
    ou .

    C'est cette somme avec des termes qui ne sont pas tous de même signe qui sème la pagaille dans le calcul : si tu prends sa valeur à 1, tu trouves S=S, ce qui est normal, si tu prends sa valeur à 0 tu trouves S=S-1.

    Le fait que la somme alternée n'ait pas de « vraie » valeur rend la manipulation par permutation de l'autre somme invalide (comme tous les autres calculs que tu as fait d'ailleurs).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. #5
    Médiat

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?




    En manipulant des objets qui n'existent pas (la limite d'une série non convergente par exemple) on peut écrire n'importe quoi
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. #6
    XxDestroyxX

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    Oui, je vois mais les premiers calculs pour prouver que 1+2+3+4+5+...=-1/12 étaient ceux exposé par Ramanujan et non par moi, ça veut dire qu'ils sont faux aussi ?
    Petite anecdote : ce résultat, -1/12 a été utilisé dans un calcul pour trouver l'énergie du vide, il y avait cette fameuse somme infinie et celui qui a trouvé cette formule cru qu'elle était forcément fausse (car elle donnerait l'infini). Dans un élan de désespoir, il a utilisé ce résultat de Ramanujan et les résultats donnés par cette formule se sont avérés vrais donc, qui sait ^^

  8. #7
    XxDestroyxX

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    Oui Médiat, ça calme ça ^^'

  9. #8
    PlaneteF

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par XxDestroyxX Voir le message
    Soit
    Quelle est la définition du symbole que tu utilises ? ... Une addition ? Sûrement pas, une addition est une opération binaire, et rien que pour cela est déjà d'entrée de jeu un abus d'écriture que l'on se doit d'expliciter.

    A partir du moment où tu ulilises des symboles qui n'ont aucun sens défini, on peut faire mumuse à écrire tout et n'importe quoi.

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 06/01/2018 à 19h49.

  10. #9
    pm42

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    Et on peut ajouter qu'un fil sur le sujet est lancé ici régulièrement et qu'à chaque fois, on explique les mêmes choses.

    Voir par ex :
    http://forums.futura-sciences.com/ma...1-1-1-1-a.html
    http://forums.futura-sciences.com/sc...mpossible.html

  11. #10
    albanxiii

    Re : Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

    Citation Envoyé par XxDestroyxX Voir le message
    Oui, je le sais, autre exemple, très joli d'ailleurs :

    On peut réarranger les termes pour que cette somme soit égale à (le nombre d'or) ou les réarranger pour qu'elle soit égale à ou même à n'importe quel nombre
    Si vous (ou des lecteurs de ce fil) ne connaissez pas le nom de ce théorème, le voici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ent_de_Riemann
    C'est avec ce théorème que j'ai eu l'impression de toucher du doigt la notion d'infini pour la première fois.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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