Une contradiction de 1+2+3+...=-1/12 ?

[XxDestroyxX]

Bonjour, j'ai trouvé, une contradiction sur la somme infinie des entiers naturels. D'abord voici la démonstration classique de ce résultat :
Soit
On a alors
On a donc donc
Soit en suite
On a
---------------------
On voit que
On a alors
Enfin, soit

---------------

On a donc d'où

En cherchant, je me suis aperçu que

---------------------------------
En réarrangeant les termes de la somme de la ligne si dessus, on voit qu'elle est égal à
On a ainsi d'où .
On aboutit à une contradiction .

NB : ne faites pas attention aux petits tirets, ils sont juste là pour aligner les termes avec les termes de la ligne au dessus
-----

[invite57a1e779]

Le problème vient de ce qu'en réarrangeant les termes de la somme, on change sa valeur.

Voici un exemple simple :



Lorsqu'on fait la somme ligne par ligne, chaque ligne a une somme nulle : et la somme totale est nulle.

Lorsqu'on fait la somme colonne par colonne, la première colonne a la somme 1 et les autres colonnes ont une somme nulle : la somme totale est 1.

C'est le fait de réarranger les termes pour les additionner dans un ordre différent qui change la valeur de la somme.

[XxDestroyxX]

Oui, je le sais, autre exemple, très joli d'ailleurs :

On peut réarranger les termes pour que cette somme soit égale à (le nombre d'or) ou les réarranger pour qu'elle soit égale à ou même à n'importe quel nombre , il suffit juste de choisir les termes positifs si la somme des termes avant est inférieur à et en choisir des négatifs si la somme des termes avant dépasse . Mais ça ne s'applique qu'à des sommes infinies où les termes sont alternativement positifs et négatifs non ? Car dans mon cas, je ne réarrange qu'une somme ne contenant que des termes positifs

[invite57a1e779]

En fait tu as au premier membre la somme :

et au second membre la somme :

avec pour différence la somme :


Tu pars du principe que cette somme vaut 1/2 parce que tu penses avoir prouvé :
.

Mais en fait :

aussi bien que :

et cette paire de valeurs fonctionne bien dans :
ou .

C'est cette somme avec des termes qui ne sont pas tous de même signe qui sème la pagaille dans le calcul : si tu prends sa valeur à 1, tu trouves S=S, ce qui est normal, si tu prends sa valeur à 0 tu trouves S=S-1.

Le fait que la somme alternée n'ait pas de « vraie » valeur rend la manipulation par permutation de l'autre somme invalide (comme tous les autres calculs que tu as fait d'ailleurs).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

En manipulant des objets qui n'existent pas (la limite d'une série non convergente par exemple) on peut écrire n'importe quoi

[XxDestroyxX]

Oui, je vois mais les premiers calculs pour prouver que 1+2+3+4+5+...=-1/12 étaient ceux exposé par Ramanujan et non par moi, ça veut dire qu'ils sont faux aussi ?
Petite anecdote : ce résultat, -1/12 a été utilisé dans un calcul pour trouver l'énergie du vide, il y avait cette fameuse somme infinie et celui qui a trouvé cette formule cru qu'elle était forcément fausse (car elle donnerait l'infini). Dans un élan de désespoir, il a utilisé ce résultat de Ramanujan et les résultats donnés par cette formule se sont avérés vrais donc, qui sait ^^

[XxDestroyxX]

Oui Médiat, ça calme ça ^^'

[PlaneteF]

Bonsoir,

Soit

Quelle est la définition du symbole que tu utilises ? ... Une addition ? Sûrement pas, une addition est une opération binaire, et rien que pour cela est déjà d'entrée de jeu un abus d'écriture que l'on se doit d'expliciter.

A partir du moment où tu ulilises des symboles qui n'ont aucun sens défini, on peut faire mumuse à écrire tout et n'importe quoi.

Cordialement

[pm42]

Et on peut ajouter qu'un fil sur le sujet est lancé ici régulièrement et qu'à chaque fois, on explique les mêmes choses.

Voir par ex :
http://forums.futura-sciences.com/ma...1-1-1-1-a.html
http://forums.futura-sciences.com/sc...mpossible.html

[albanxiii]

Oui, je le sais, autre exemple, très joli d'ailleurs :

On peut réarranger les termes pour que cette somme soit égale à (le nombre d'or) ou les réarranger pour qu'elle soit égale à ou même à n'importe quel nombre

Si vous (ou des lecteurs de ce fil) ne connaissez pas le nom de ce théorème, le voici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ent_de_Riemann
C'est avec ce théorème que j'ai eu l'impression de toucher du doigt la notion d'infini pour la première fois.