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Loi normale centrée réduite (X, Z et z)




  1. #1
    Emmouy

    Loi normale centrée réduite (X, Z et z)

    Bonjour! Je suis en PACES, mais je bloque sur la méthode à adopter pour la résolution d'un problème niveau terminale S tombé au concours de 2016. En fait, j'ai l'impression d'être tombée sur le résultat par chance, sans comprendre le fond de ce que je faisais.
    La calculatrice étant interdite, nous utilisons une table statistique.

    L'énoncé (avec réponse en gras):
    Le cancer du sein touche 10% des femmes de 35 à 65 ans. On désire constituer une cohorte de femmes pour étudier les facteurs liés à la survenue de ce cancer.
    On constitue finalement une cohorte de 900 femmes.
    Quelle est la probabilité d'observer dans cette cohorte plus de 108 cancers du sein ?
    A. 0,0113
    B. 0,0344
    C. 0,0228
    D. 0,0455


    Mon raisonnement :
    On cherche P(X>108) = 1 - P(X<108).

    Selon les valeurs, nous avons :
    n = 900 > 30
    p = 0,1
    np = 900 x 0,1 = 90 > 5
    Il est donc possible de faire une approximation de la loi binomiale à une loi normale avec les paramètres suivants :
    mu = np = 90
    (sigma)² = npq = 90(1-p)= 90(1-0,1)= 90 x 0,9 = 81 <=> sigma = 9

    Jusque là tout va bien, mais ensuite je ne comprends plus vraiment ce que je fais... j'ai utilisé Z=(X-mu)/sigma=(108-90)/9=18/9=2
    Puis j'ai utilisé ma table pour trouver pi(2)=0,9772. Puis j'ai fais 1-0,977=0,0228 (C).
    Pourtant, j'ai la sensation qu'il manque certains éléments dans mon raisonnement. Par exemple, la formule P(Z>z)=1-pi(z) semble coller avec un des calculs que j'ai fais, mais je ne comprends pas ce que qu'elle désigne (que sont Z et z par rapport à X, dans quelles situations doit-on utiliser ces formules, ...)

    Il serait bien aimable de m'aider à reconstituer ce puzzle, en m'expliquant toutes ces formules
    Merci d'avance !

    -----


  2. #2
    gg0

    Re : Loi normale centrée réduite (X, Z et z)

    Bonjour.

    Si X suit la loi Nomale de moyenne mu et d'écart type sigma, alord Z=(X-mu)/sigma suit la loi Normale centrée réduite, de fonction de répartition pi (Pi(z)=P(Z<=z)). De plus les règles de manipulation d'inégalité donnent
    X<=t <==> Z<=(t-mu)/sigma
    Donc P(X<=t)=P(Z<=(t-mu)/sigma)=pi((t-mu)/sigma)
    C'est tout !

    Quant à P(Z>z)=1-pi(z) c'est la règle habituelle sur la probabilité de l'événement contraire.

    Il n'y a pas de puzzle, seulement des règles de calcul que tu dois connaître (cours de probabilités de base + variables aléatoires classiques).

    Cordialement.

  3. #3
    Emmouy

    Re : Loi normale centrée réduite (X, Z et z)

    C'est tout de suite plus clair !
    Merci beaucoup


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