Trigonométrie

[Nonimamie]

Bonjour,

Je suis en Terminale S et j'ai un exercice à faire sur la trigonométrie.

Voici l'exercice ainsi que mes réponses :

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 3cos(2x+π/2).

1) Montrer que, pour tout x appartenant à R, on a: -3<f(x)<3.

On a :
-1<cos(x)<1
-1<cos(2x+π/2)<1
-3<3cos(2x+π/2)<3
-3<f(x)<3

2)Etudier la parité de la fonction f.

Si x appartient à Df, alors -x appartient à Df également.

On a :
f(-x)=3cos(2(-x)+π/2)
f(-x)=3cos(-2x+π/2)
f(-x)=3cos(2x+π/2)
f(-x)=f(x)

Je ne suis pas sûre d'avoir rédigée rigoureusement ma réponse. Dois-je modifier quelque chose ?

3) Montrer que f est π-périodique.

f(x+π)= 3cos (2(x+π)+π/2)
f(x+π)= 3cos((2x + 2π + π/2)
f(x+π)= 3cos (2x + π/2)
f(x+π)= f(x)

Ma réponse est-elle correcte ?

4)a) Calculer la dérivée de f'(x).

On a f=3cos(u) avec u(x)=2x+π/2
u est dérivable sur R et u'(x)=2
donc f est dérivable sur R et f'=3 x (-u') x sin(u)
f'(x)=3x(-2) x sin(2x+π/2)
f'(x)=-6 sin(2x+π/2)

b)Résoudre l'équation f'(x)=0 dans R et en déduire les solutions dans l'intervalle [0;π].

Je ne sais pas comment je dois m'y prendre pour résoudre cette équation. Pourriez-vous me guider ?

5)Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0;π].

On a :

0<2x +π/2<π

Le signe de f' sur cet [0;π/2] est négatif et le signe de f' sur [π/2;π] est positif.

Le tableau de variation serait donc décroissant puis croissant.

Est-ce cela ? Ais-je d'autres choses à expliquer ?

6)Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative de la fonction f aux points d'abscisses π/4 et 3π/4.

Je sais que les tangentes ont pour équation y=-3 et y=3 mais je ne sais pas comment l'expliquer.

Merci d'avance pour votre aide,
Nonimamie
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[jacknicklaus]

0)
peut-être commencer par remarquer que cos(2x+π/2) = -sin(2x)
ca évite de trimbaler des pi/2 partout.

1) : ok (mais un peu lourd)

2) non, ce passage est faux :
f(-x)=3cos(-2x+π/2)
f(-x)=3cos(2x+π/2)

3) ok

4a) OK
4b) voir remarque 0)


5) ce passage est faux :
sur l'intervalle [0;π] On a : 0<2x +π/2<π

6) équation de tangente en x0 : [ y - f(x0) ] / (x-x0) = f'(x0)

tu appliques le cours, c'est tout.

[Nonimamie]

Pour la question 2, cela signifierait que la fonction n'est pas paire ?

Pour la 6, je n'ai pas appris cette formule, y a-t-il un autre moyen ?

Merci

[fartassette]

Bonjour


la fonction est bien impaire pour tout nombre réel





alors ou comme vous voulez

[A voir en vidéo sur Futura]

[fartassette]

Bon vous ne connaissez pas la formule du nombre dérivé



et que quelle relation mathématique peut t'on écrire ?


Bonne continuation,

[Nonimamie]

Merci pour vos réponses.

Pour la question 4)b), voilà ce que j'ai fait :

Pour tout x appartenant à R,
f'(x) = 0
sin(2x+π/2) = 0
2x+π/2 = 0 + kπ
2x = -π/2 + kπ/2
x= - π/4 + kπ/2 ou x =π/4 + kπ/2

Est-ce normal que j'arrive sur un résultat avec kπ/2 et non 2kπ ? Mon raisonnement est-il correct ?

Merci et bon dimanche

[Nonimamie]

J'ai un problème d'extrême urgence :

Sur [3pi/4;pi], je trouve
3pi/2<2x<2pi
2pi<2x+pi/2<5pi/2
sin(2pi)>sin(2x+pi/2)>sin(5pi/2)
Et c'est là que j'ai un problème, j'ai échangé les signes pour le sinus mais conclusion je me retrouve avec :
0>sin(2x+pi/2)>1
Ce n'est pas possible !

S'il-vous-plait, aidez-moi !

[Nonimamie]

Je me suis trompée !

voilà le problème :
0<x<pi/4
0<2x<pi/2
pi/2<2x+pi/2<pi
sin(pi/2)<sin(2x+pi/2)<sin(pi)
donc 1<sin(2x+pi/2)<0
ce n'est pas possible d'aoir 1<0

merci pour votre aide urgente !!!

[gg0]

Heu ...tu crois vraiment que si a<b alors sin(a)<sin(b) ?? Quel est le sens de variation de la fonction sinus ?

Cordialement.

[jacknicklaus]

pi/2<2x+pi/2<pi
sin(pi/2)<sin(2x+pi/2)<sin(pi)

Non. correctif:

pi/2<2x+pi/2<pi
entre pi/2 et pi la fonction sinus est strictement décroissante, donc
sin(pi/2)>sin(2x+pi/2)>sin(pi)
donc 1>sin(2x+pi/2)>0

[Nonimamie]

Merci beaucoup!

Un dernier petit souci :
Pour [pi/4;3pi/4], j'ai :

pi/2<2x<3pi/2
sin(pi)<sin(2x+pi/2)<sin(2pi) OU sin(pi)>sin(2x+pi/2)>sin(2pi)
Dois-je inverser le signe ? Et je trouve que sin(2x+pi/2) est compris entre zéro et zéro, est-ce correct ?

[ansset]

bonjour,
tu as trouvé :

x= - π/4 + kπ/2 ou x =π/4 + kπ/2

donc tu en déduit facilement que sur [0;2pi] la dérivée s'annule en 4 points
pi/4 ; 3pi/4 ; 5pi/4 ; 7pi/4
elle change aussi de signe à chaque fois.
prenons le dernier intervalle [7pi/4 ; pi/4]
auquel 0 appartient et f'(0) =-6sin(pi/2)=-6
donc la dérivée est négative sur tout l'intervalle, et la fct décroissante.
elle change ensuite de signe à chaque fois.

si ce point ( chang de signe ) ne te semble pas évident , il te suffit de prendre la valeur en un point de l'intervalle pour avoir le signe sur l'intervalle.
ex int suivant [pi/4 ; 3pi/4] , pi/2 est dans cet intervalle.
f'(pi/2)=-6sin(pi+pi/2)=-6sin(3pi/2)
le sin est négatif donc la dérivée est positive et la fct croissante sur ce second intervalle.
etc...

ps : pas vu qu'on te demandait simplement les variations sur [0;pi] ce qui simplifie le nb de cas.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Tu peux faire un tour sur le fil "Les méthodes à retenir".
Quelques posts pourraient t'aider à te dépatouiller

Bonne soirée.
Cordialement,
Duke.