nombre complexe (raisonnement)

[invitebf53fbfa]

bonjour a vous ;j'ai besoin d'aide pour un raisonnement :
(r) et (r') l'ensemble des points M pour point d'affixe Z tel que : z-z(b) / z-z(c) nombre imaginaire pure positive et iz -iz(b) / z-z(c) nombre réel positive . z(b) = 1 + i√3 ; z(c) =1 - i√3 .
trouver la nature de l'ensemble (r') u (r).
si z-z(b) / z-z(c) = L est imaginaire pure positive ( Re(L) = 0 )donc l'ensemble des points M sont le demi cercle de diamètre (bc) et pour le second (r') :
iz -iz(b) / z-z(c) = L est nombre réel positive comme il s'écrit: i( z-z(b) / z-z(c) ) on inverse les deux partie et comme c'est un nombre réel positive on a donc Im (L) = 0 donc l'ensemble des points M sont le demi cercle de diamètre (bc) . je ne vois pas comment la nature de (r') u (r) peut être .
merci a l'avance.
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[invite51d17075]

trouver la nature de l'ensemble (r') u (r).
si z-z(b) / z-z(c) = L est imaginaire pure positive ( Re(L) = 0 )donc l'ensemble des points M sont le demi cercle de diamètre (bc) et pour le second (r') :
.

je ne comprend pas.
pourquoi un demi cercle
d'où sort bc ? ( qu'est que c ici )
quel est le centre ?
peux tu nous donner le détail de ta résolution ?.

[invitebf53fbfa]

en développent par le conjugué; z-z(b) / z-z(c) * z+z(c) / z+z(c) et on posant z = x+iy on tombe sur deux équation la partie Re celle d'un cercle la partie Im celle d'une droite . précisant .

[invite51d17075]

tu parlais de cercles ( même de demi-cercles ) , et maintenant de droites ( qui sont d'ailleurs les bonnes réponses sauf valeurs interdites pour r )
et tu fais bien compliqué.
par exemple :
(z-z(b))/(z-z(c))=ri ( avec r réel positif ) <=> z-z(b)=ri( z-z(c)) ( en s'assurant que z diff de z(c) dans les solutions )

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Attention : z+zc n'est pas le conjugué de z-zc.

Cordialement.

[invite51d17075]

correction perso , d'accord pour le demi cercle dans le premier cas ( pas vu l'imaginaire positif que j'interprète comme ir avec r>0 )
tu pourrais préciser que le rayon est rac(3) et le centre (1;0).

Attention : z+zc n'est pas le conjugué de z-zc.

le conjugué de est
et
par ailleurs , pour simplifier aussi les calculs
et
( si z=a+ib )

ps : je ne comprend pas ce que tu veux dire pour la seconde partie

[invitebf53fbfa]

j'y voie pour dire que c'est comme ça j'ai procédé : ( 1): (x-1) + i(y-√3) / (x-1) + i(y+√3) * (x-1) - i(y+√3)/(x-1) - i(y+√3) on posant ( z = x + iy ) <=>
et je tombe sur deux équation tel que : (2):{ x^(2)+ y^(2) -2x -2 /(x-1)^(2) +(y+√3)^(2) } (Re) + i { (2√3 - 2√3x + y(√3 + √3i)) / (x-1)^(2) +(y+√3)^(2)} (Im).
si z-z(b) / z-z(c) = L est imaginaire pure positive ( Re(L) = 0 )donc l'ensemble des points M sont le demi cercle de diamètre (bc)
pour la seconde partie on a i( z-z(b) / z-z(c) ) ce qui fait les partie de (2): changent vérifiant le demi cercle .

[invite51d17075]

je comprend mieux l'expression demi-cercle de diamètre (bc) , que je n'avais pas saisi.
ta dernière phrase est probablement juste mais pas claire du tout pour moi.

avec L réel positif revient à ( en multipliant les deux termes par -i )

On retrouve la même équation que pour 1) mais avec un imaginaire "négatif".

[invite51d17075]

C'est donc l'autre demi cercle.
Donc soit les termes positifs et négatifs sont à prendre sens strict >0 et <0 et il n'y a pas d'intersection.
soit c'est au sens >=0 et <=0 et il ne reste donc que les deux points aux extrémités.

[invite51d17075]

petite correction :
attention le point Z(c) app au cercle, mais ne peut pas faire partie des solutions ( la fraction n'y est pas définie )

[invitebf53fbfa]

c'est un peu fatiguant je comprend bien intersection mais j'ai vois pas comment l'union des deux termes que soit (r') u (r) si vous voulez bien préciser dans tous les cas merci a l'avance .

[invite51d17075]

c'est aussi parce que moi-même j'avais oublié qu'il s'agissait d'union et non d'intersection.
les solutions de la première question correspondent bien au demi cercle inférieur ( si ma mémoire est bonne ) de centre (1,0) de rayon rac(3)
il ne peut comprendre point z(c) dans tous les cas car la fraction n'est pas définie en ce point.
il peut comprendre le point z(b) si on considère "positif" comme "positif ou nul".
pour la seconde question ( voir mon post #8 ) , il s'agit donc du demi-cercle supérieur.
donc en résumé :
l'union des deux est le cercle en entier privé du point z(c) si les termes positifs et négatifs inclus la nullité.
et le cercle privé en entier privé de z(c) et z(b) si on entend positifs et négatifs au sens strict.