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suite récurrente




  1. #1
    kaderben

    suite récurrente

    Bonjour

    Voici une question d'un exo niveau 1S.
    La suit U est définie par Uo =3 et pour tout n entier naturel U(n+1)= V(6-Un) (racine carrée)
    a) Conjecturer la limite de U pour n très grand
    b) Démontrer que Un -2 =(2-U(n-1))/[V(6-U(n-1)) +2]
    c) Démontrer que abs(Un -2) <= 1/(2^n)

    Pour a) et b) aucun problème.
    Pour c) je ne vois pas comment démarrer ?

    Merci pour vos réponses

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    ansset

    Re : suite récurrente

    bonjour,
    par simple récurrence en utilisant la formule démontrée en b).
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    Tryss2

    Re : suite récurrente

    Et, petit indice si ça ne te suffit pas

     Cliquez pour afficher


  5. #4
    kaderben

    Re : suite récurrente

    Bonjour
    J'ai oublié une question dans l'énoncé !
    Donc je réécris l'énoncé:
    Voici une question d'un exo niveau 1S.

    La suit U est définie par Uo =3 et pour tout n entier naturel U(n+1)= V(6-Un) (racine carrée)
    a) Conjecturer la limite de U pour n très grand
    b) Démontrer que Un -2 =(2-U(n-1))/[V(6-U(n-1)) +2] puis abs(Un-2)<= abs(U(n-1) -2)/2
    c) Démontrer que abs(Un -2) <= 1/(2^n)

    Avec l'indication de Tryss2:
    V(6-U(n-1)) >=0 donc V(6-U(n-1)) +2)>=2
    V(6-U(n-1)) +2)/abs((U(n-1)-2)>=2/abs((U(n-1)-2)
    abs((U(n-1)-2)/abs((U(n-1)-2)<=abs((U(n-1)-2)/2
    Donc abs(Un -2)<= abs((U(n-1)-2)/2

    abs(Un -2)<= abs((U(n-1)-2)/2
    abs(U(n-1) -2)<= abs((U(n-2)-2)/2
    abs(U(n-2) -2)<= abs((U(n-3)-2)/2
    .
    .
    .
    abs(U1 -2)<= abs((Uo-2)/2
    En multipliant ces inégalités membre à membre et en simplifiant à droite et à gauche:

    abs(Un -2)<= abs((Uo-2)/(2^n)
    Uo=3 donc abs(Un -2)<= 1/(2^n). Est ce correct ?

    ansset a suggéré la récurrence mais ça n'existe pas au programme 1S d'après le programme officiel, à moins que j'ai mal lu !

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