Nombres complexes et relation d'ordre dans C

[invite964105a9]

Bonjour les ami(e)s, je suis en TC4 et je calle grâve sur un DM, je me demandais si je pouvais avoir votre aide. Voici le problème:
Soit dans C la relation R définie par: z est en relation avec D si et seulement si Re(z)<Re(D) ou {Re(z)=Re( D) et Im(z)≤Im(D)}.
Exemple: 1+4i R 2+7i car 1<2
1+4i R 1+7i car 4≤7.
1) Montrer que R est une relation d'ordre totale dans C.
2) Comparer 2+3i et 3+4i , puis 1-i et 2+i.
Calculer (2+3i)(1-i) et (3+4i)(2+i).
Comparer ces deux nombres, que constate t-on?
Nb: c'est parce qu'aucune relation d'ordre total définie sur C n'est compatible avec les opérations du corps commutatif avec les opérations du corps commutatif (C,+,×) qu'on n'utilise pas d'ordre dans C et que "nombre positif" ( ou "nombre négatif") n'a pas de sens pour un nombre complexe non réel.
3) Montrer par contre que l'addition est compatible pour R.
Merci d'avance. Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Tu n'as pas dit où tu cales (avec un seul l). On peut t'aider, mais c'est toi qui fais le devoir.

Cordialement.

[invite964105a9]

Salut. Excusez moi je suis nouveau donc je ne sais pas bien comment ça marche ici. En fait je bloque sur le 1) mais je crois que si l'on m'explique le 1) je pourrai terminer et resoumettre ce que j'ai fait pour votre appré iation. C'est que je n'ai aucune idée de ce que c'est qu'une relation d'ordre, on ne l'a pas vraiment au programme mais le prof nous l'a donné en DM. Donc si vous pouviez m'expliquer le 1, ça ira mieux. Merci d'avance
Cordialement.

[pm42]

C’est assez simple : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ordre_total

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite964105a9]

Salut, et merci pour votre apport, puis-je donc dire : pour tout a et b £ C, Re(a)<Re(b) ( notons cette relation t) ou {Re( a)=Re(b) et Im(a) ≤Im(b)} (notons n),puisque,
Si a et b sont des réels, la relation t est remplie,
Si a et b sont des imaginaires purs, ils ont même partie réelle qui est nulle et la deuxième condition de n est remplie
Enfin si a est réel et b imaginaire pure ou vis versa, la relation t est toujours de mise;
Conclusion R est belle et bien une relation d'ordre totale dans C.
Merci de me confirmer mon raisonnement.
Cordialement !

[gg0]

Pourquoi compliquer avec t et n ?

Où démontres-tu que R est une relation d'ordre ?
Et même que veut dire : "la relation t est remplie" ???

Tu as fait un baratin pseudo-mathématique, mais pas du tout une démonstration concernant R.

Bon revenons à la définition de "relation d'ordre total dans C" (sans e à total, c'est l'ordre qui est total; tu n'as pas sérieusement lu la définition). Si tu veux démontrer que R est une relation d'ordre total dans C, que dois-tu démontrer sur R ?

[invite964105a9]

Il faut démontrer que quelque soit x et y £ C, x R y ou y R x. Ou bien j'ai tout faux?

[gg0]

Heu ... ça c'est pour "total"; reste à démontrer que R est une relation d'ordre. Et même pour cette partie, tu n'as rien démontré du tout? Tu n'as pas pris des x et y quelconques (tu n'as parlé que de cas particuliers, sans rien justifier).
Je me demande même si tu sais vraiment ce qu'est un complexe, tu n'as pris que des réels ou des imaginaires purs, alors que la quasi totalité des complexes ne sont ni l'un ni l'autre.

Tiens, pour que tu comprennes de quoi il s'agit, peux-tu donner la relation R entre les complexes 2+3i, 5-4i, 3+3i et 2-4i ? Il y a six formules à écrire.

Bon travail !

[invite964105a9]

Des formules? Franchement je ne vois pas!

[invite964105a9]

Je trouve:
2+3i R 5-4i
2+3i R 3+3i
2-4i R 2+3i
2-4i R 3+3i
3+3i R 5-4i
2-4i R 5-4i

[gg0]

Ok.

Tu sais comment fonctionne la relation, à toi de prouver que c'est une relation d'ordre.

Cordialement.

[invite964105a9]

Bonjour et merci beaucoup pour vos explications surtout toi #ggo. Je crois que si de ces formules que vous parliez, il en reste encore trois à écrire n'est ce pas?
Cordialement😉