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Exercices TS : Suite de Fibonnaci



  1. #1
    uioka

    Exercices TS : Suite de Fibonnaci


    ------

    Bonjour j'ai un petit problème par rapport à une égalité:


    Suite de Fibonacci
    La suite de Fibonacci (Fn)n≥0 est définie par :
    F0 = 0, F1 = 1 ; ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn.

    Posons
    α = (1 + √5)/2
    β = (1 − √5)/2

    Nous n’utiliserons pas ces expressions, mais le fait que α et β sont racines
    de l’´equation du second degré :
    x2 − x − 1 = 0.

    Pour n dans N, soit Pn la propri´et´e :
    Fn = (αn − βn)/√5 .


    Initialisation. Les propriétés P0 et P1 sont vérifiées. En effet :

    (α0 − β0)/√5= 0 = F0,
    (α − β)/√5 = 1 = F1.

    Hérédité. Soit n dans N tel que Pn et Pn+1 soient vraies. Alors :

    F(n+2) = F(n+1) + Fn = 1/√5(α^(n+1) + α^n − β^(n+1) − β^n)


    Mais :

    α^(n+1) + α^n = α^n × (α + 1) = α^n × α^2 = α^(n+2)

    C'est ceci que je ne comprends pas et plus précisément l'égalité souligner


    (On a

    α^(n+1) + α^n = α^n * α + α^n = α^n*(α+1)

    d'après ce qui est énoncé

    α^n × (α + 1) = α^n × α^2

    Donc,

    (α+1) = α^2

    Mais pour α = 2

    on a (α+1) = 3 ; α^2 = 4

    (α+1) ≠ α^2 )


    De même :
    β^(n+1) + β^n = β^(n+2).

    Finalement :

    Fn+2 = (α^(n+2) − β^(n+2))/√5 .

    La propriété Pn+2 est démontrée.


    Voici le pdf : http://louislegrand.org/images/stori...-TERMINALE.pdf (pages 12 - 13)

    -----
    Dernière modification par uioka ; 27/06/2018 à 09h52.

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  3. #2
    gg0

    Re : Exercices TS : Suite de Fibonnaci

    Bonjour.

    C'est une classique factorisation. Avec les règles des puissances vues en collège :


    Cordialement.

  4. #3
    eudea-panjclinne

    Re : Exercices TS : Suite de Fibonnaci

    doublon....................... .......
    Dernière modification par eudea-panjclinne ; 27/06/2018 à 11h42.

  5. #4
    gg0

    Re : Exercices TS : Suite de Fibonnaci

    En complément, la définition de permet de remplacer par : relis le début, en voyant que x²-x-1=0 est aussi x²=x+1.
    Tu ne peux pas, évidemment prendre 2 pour tester puisque 2 n'est pas .

    Cordialement.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    uioka

    Re : Exercices TS : Suite de Fibonnaci

    A oui que je suis bête, merci de votre réponse et de m'avoir éclairé.

    Merci.

  8. #6
    gg0

    Re : Exercices TS : Suite de Fibonnaci

    Non, non,

    on n'est jamais bête, simplement on pense au mauvais endroit

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