Bonjour j'ai un petit problème par rapport à une égalité:
Suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci (Fn)n≥0 est définie par :
F0 = 0, F1 = 1 ; ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn.
Posons
α = (1 + √5)/2
β = (1 − √5)/2
Nous n’utiliserons pas ces expressions, mais le fait que α et β sont racines
de l’´equation du second degré :
x2 − x − 1 = 0.
Pour n dans N, soit Pn la propri´et´e :
Fn = (αn − βn)/√5 .
Initialisation. Les propriétés P0 et P1 sont vérifiées. En effet :
(α0 − β0)/√5= 0 = F0,
(α − β)/√5 = 1 = F1.
Hérédité. Soit n dans N tel que Pn et Pn+1 soient vraies. Alors :
F(n+2) = F(n+1) + Fn = 1/√5(α^(n+1) + α^n − β^(n+1) − β^n)
Mais :
α^(n+1) + α^n = α^n × (α + 1) = α^n × α^2 = α^(n+2)
C'est ceci que je ne comprends pas et plus précisément l'égalité souligner
(On a
α^(n+1) + α^n = α^n * α + α^n = α^n*(α+1)
d'après ce qui est énoncé
α^n × (α + 1) = α^n × α^2
Donc,
(α+1) = α^2
Mais pour α = 2
on a (α+1) = 3 ; α^2 = 4
(α+1) ≠ α^2 )
De même :
β^(n+1) + β^n = β^(n+2).
Finalement :
Fn+2 = (α^(n+2) − β^(n+2))/√5 .
La propriété Pn+2 est démontrée.
Voici le pdf : http://louislegrand.org/images/stori...-TERMINALE.pdf (pages 12 - 13)
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