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Calcul d'une dérivée



  1. #1
    Thomas Tesic

    Calcul d'une dérivée

    Bonjour à tous,

    Voulant commencer à étudier la physique quantique, j'ai décidé de reprendre les maths que je n'ai pas pratiqués depuis la fin de mes études (3 ans). J'ai notamment acheté le livre "Le minimum théorique" pour revoir les bases à la fois de la physique et des maths. Dans celui-ci il y a des exercices. L'un d'eux demande, entre autres, de calculer la dérivée par rapport à t de f(t) = -3c sin(t) cos²(t).

    Le corrigé utilise une formule qui me paraît étrange : la dérivée par rapport à cos(t) de -3c cos²(t) sin(t) multiplié par la dérivée par rapport à t de cos(t) ce qui donne au final : f'(t) = 6c cos(t) sin²(t).

    Pour ma part, j'ai utilisé la propriété suivante : (uv)' = u'v + uv' avec u = -3c sin(t) et v = cos²(t). De cette manière j'obtiens f'(t) = -3c cos3(t) + 6c cos(t) sin²(t).

    Je voulais juste que quelqu'un de plus expérimenté valide mon résultat vs le corrigé du livre qui me paraît un peu foireux :S

    Merci beaucoup

    -----


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  3. #2
    albanxiii

    Re : Calcul d'une dérivée

    Bonjour,

    Déjà, je trouve la même chose que vous pour la dérivée

    Le calcul proposé par votre livre se base sur la formule de dérivation des fonctions composées : .

    Un physicien écrirait plutôt , ce qui est moins rigoureux, mais plus parlant.

    Dans cet exemple je trouve que c'est complètement tordu, d'autant que si vous avez tout recopié, il manque le calcul de la dérivée de par rapport à .
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  4. #3
    Thomas Tesic

    Re : Calcul d'une dérivée

    Bonjour,

    Merci pour cette réponse, ça me rassure de savoir que vous avez le même résultat que moi

    Je n'ai copié qu'un résumé de la solution proposée pour ne pas trop alourdir mon message. La solution du livre peut être trouvée ici (à partir du 3ème carré dans "Answer") : http://www.madscitech.org/tm/slns/l2e8.pdf

    Je sais que ça peut aller vite de faire des erreurs lors de calculs en maths mais je ne peux m'empêcher de me demander si, au final, ce livre est vraiment sérieux. Il y a d'autres corrections d'exercices qui me paraissaient assez bancales.

  5. #4
    albanxiii

    Re : Calcul d'une dérivée

    Re,

    Merci pour le doc. En fait, c'est exactement la règle de dérivation des fonctions composées que je vous ai rapidement indiquée. En anglais on dit "chain rule". Et ils calculent bien tous les termes, et le calcul complet est juste (il vous a manqué le dg/dt du haut de la page 10 dans votre message.

    Dans ce cas là, l'utilité de la "chain rule" ne me saute pas aux yeux. Votre (et ma) méthode me semble aussi rapide.

    Par contre, pour dériver des expressions comme par rapport à , c'est commode.

    En règle générale, on ne connait jamais trop de façon différentes de calculer un truc, donc tout est bon à prendre
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  6. #5
    Thomas Tesic

    Re : Calcul d'une dérivée

    Re,

    Je ne comprend pas en quoi le calcul est juste puisque le résultat final affiché est "6 c cos(t) sin2(t)". Il manque le "-3c cos3(t)" que l'on trouve dans nos résultats.

    Je suis cependant bien d'accord pour l'utilité de la règle de composition qui m'a déjà permis de calculer la dérivée de cos2(t) Ces 2 méthodes me paraissent complémentaires mais pas intervertibles : elles répondent à des besoins différents. Je ne vois pas comment calculer, par exemple, la dérivée de cos(t) * sin(t) avec la règle de composition.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    albanxiii

    Re : Calcul d'une dérivée

    Re,

    Pardon, en effet, j'ai regardé trop vite. La "chain rule" que l'auteur du document utilise marche par coup de chance pour le calcul de la vitesse, puisqu'on a des expressions de la vitesse qui vont bien (fonctions composées = fonction trigonométrique et fonction puissance). Pour le calcul de l'accélération, ça ne fonctionne plus, on n'a pas une fonction composée. S'il y a un produit de sinus et cosinus, il faut dériver comme un produit, et la façon de faire de ce document est farfelue. On en revient à ce que je disais en #2, il faut dériver -3cg^2h comme un produit et donc calculer la dérivée de h par rapport à g.

    Il faudrait écrire :



    puisqu'on sait que g et h ne sont pas indépendants... C'est ça l'expression correcte et dans le poly il manque le second terme. C'est une façon assez scabreuse de calculer cette dérivée, à oublier selon moi.

    Citation Envoyé par Thomas Tesic Voir le message
    Je ne vois pas comment calculer, par exemple, la dérivée de cos(t) * sin(t) avec la règle de composition.
    Si on est masochiste, on essaye de calculer dh/dg. Je n'ai pas essayé de le faire, mais ça doit être possible. Mais inutile, pénible et 1 chance sur 2 de se planter.
    Pour ce type d'expression, utilisez la trigo que vous connaissez et dérivez (1/2) sin (2t) (ici fonction composée sin et 2t);
    Et pour un produit plus compliqué, la règle de dérivation d'un produit.

    Chain rule = pour les fonctions composées, ce qui n'est pas le cas de cos(t) sin(t).
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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  10. #7
    Thomas Tesic

    Re : Calcul d'une dérivée

    OK. Merci bien pour vos réponses, ça m'aide beaucoup !

    Au plaisir d'un nouvel échange

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