Arithmétique

[Omar bola]

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Bonsoir
Je corrige actuellement ce bac blanc de 2015 mais l’exo 2 me pose problème
Voilà ce que j’ai pu bidouiller image.jpg
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[eudea-panjclinne]

1) Dans votre proposition je ne vois pas pourquoi a et b seraient divisibles par 3 ?
Comme PPCM(a,b)=120 d'un point de vue divisibilité, que dire de a et b par rapport à 120.
D'autre part il y a un nombre fini d'entiers tels que aˆ2+bˆ2=801. Chercher un majorant de a et b.
chercher les différents couples...
J'ai trouvé une seule solution.

2) Que dire des signes de d et m ?
du point de vue divisibilité que dire de d et m : donc m=....,
remplacer dans 2m+3d=78, chercher les cas possibles de d puis de m, il y en a peu.
Trouver ensuite les couples (x,y)

3) première équation : faites une table de Z/5Z, chercher les solutions possibles dans Z /5Z. Ecrire ces solutions dans Z.
Les mettre dans la seconde équation...

[Omar bola]

Non ma proposition dis que a est multiple de 3 car 120 multiplie de 3

[gg0]

Dans le document du message #1, tu dis plus exactement :
ppcm(a,b)=120 ==> (je traduis) a et b sont des multiples de 3
Quel théorème justifie cela?

(rappel : ppcm(8,15)=120, mais 8 n'est pas un multiple de 3)

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[henryallen]

Bonjour,

En effet le raisonnement en lui-même ne tient pas, mais il est possible de montrer que et sont bien des multiples de 3:

Soit . On a soit , soit , soit . Donc (dans le cas où ), ou (dans le cas où ou ).

Or on peut voir que .

Donc avec , le seul moyen d’avoir est d’avoir et , c'est-à-dire et .

Il est fortement possible que je me sois trompé, je m'en excuse donc par avance.

Bonne journée.

[eudea-panjclinne]

@henryallen
La seule condition PPCM(a,b)=801 n’entraîne pas que a et b soient divisible par 3 comme le contre-exemple de gg0 le prouve.

c'est la condition
a^2+b^2=801
qui impose à a et b d'être multiples de 3 comme tu le prouves. La rédaction de Omar Bola est fautive à ce niveau.

Quoiqu'il en soit, dans cette exercice, une simple recherche exhaustive des solutions le résout puisque la condition a^2+b^2=801 majore les éventuelles solutions qu'il reste à filtrer avec la condition PPCM(a,b)=120 par exemple.

[henryallen]

Oui oui, j'avais bien compris, d'où la deuxième ligne de mon message Et en effet, j'avais personnellement trouvé la réponse sans avoir remarqué que a et b sont des multiples de 3, mais avec cette condition ça doit être plus rapide.

[ansset]

oui, il faut bien la preuve qu'apporte henry.
ensuite, on obtient bien les deux équations simplifiées d'Omar.
dommage qu'il ne soit pas aller au bout, car elles permettent de trouver très vite la seule solution possible.

[Omar bola]

mais il y’a un théorème qui dis que ppcm(ka,kb)=kppcm(a,b)

[ansset]

je ne remets pas en cause tes équations simplifiées.
je précisais juste que tu ne conclus pas, alors que c'est très facile avec celles ci.

[Omar bola]

Comme solution je trouve un unique Couple (24,15)

[ansset]

c'est juste, mais comment ?
par essais ou déduction mathématique rapide ?