Montrer qu’une fonction est positive

[invitee3037389]

Bonjour,

Je prépare ma rentrée en ingénierie à l’aide du livre «*Savoir faire en maths*». Un problème me pose quelques soucis, même après avoir vu la solution.

Montrer que la fonction (x+1)^3/(7x^2-5x+1) > ou égale à 1 pour x > ou égal à zéro. En déduire que
f(x) = (x^3-4x^2+8x+10)/(x^2+1) est positif pour x > ou égal à zéro.

J’arrive à montrer que la première fonction est positive, mais je ne vois pas en quoi cela m’aide pour f(x)... j’ai essayé de diviser par (x+1), sans succès.

Merci d’avance
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[Resartus]

Bonjour,
Vous avez bien montré que la première fonction Numerateur/Denominateur est supérieure à 1? (pas seulement positive…)
Que peut-on alors dire de Numerateur-Denominateur?

[invitee3037389]

Alors non, j’ai effectivement un problème avec ce point-là. Je pense qu’il suffit de montrer que (x+1)^3 est supérieur au dénominateur... J’ai essayé par récurrence mais ça ne donne rien, je cherche une autre méthode

[invitee3037389]

Et en faisant numérateur - dénominateur, je trouve x^3-4x^2+8x. Qui ressemble effectivement au numérateur de ma deuxième fonction

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

ce n'est pas la première question de ton problème. Qu'as-tu fait avant ? N'aurais-tu pas étudié ta " fonction (x+1)^3/(7x^2-5x+1) " ?

Cordialement.

[invitee3037389]

La première question était de montrer que ma première fonction est plus grande que 1 pour x plus grand que zéro. J’ai pu montrer qu’elle est positive, mais pas encore supérieure à 1.

De cela découle que f(x) est supérieur à zéro, j’ai pu le montrer en faisant ce que suggérait Resartus (merci beaucoup d’ailleurs !), car comme la première fonction est supérieure à 1, numérateur - dénominateur est supérieur à zéro. Comme numérateur - dénominateur est inférieur à f(x), f(x) est également supérieure à zéro.

J’ai cependant pris pour acquis que ma première fonction est supérieure à 1, je cherche encore à le montrer.

[gg0]

Alors tu peux utiliser une méthode classique au lycée : étudier ta fonction g(x)=(x+1)^3/(7x^2-5x+1), ce qui ne pose aucun problème, et regarder ce qu'elle fait sur [0,+oo[.

Bon travail !

[invitee3037389]

Je cherchais du plus rapide, mais effectivement, c’est une bonne solution, il ne faut pas être paresseux pour faire des maths

Merci pour l’aide et bonne soirée !

[duduch74]

bonjour
x^2+1 étant strictement positif quelque soit x, ne pourrait-on se contenter d'étudier le signe de x^3-4x^2+8x+10 en étudiant au préalable ses variations (éventuellement avec un petit théoreme des valeurs intermédiaires pour le zéro) ?
Mais dans ce cas je ne vois pas trop le lien avec la première fonction

[gg0]

Il y a sans doute d'autres méthodes pour démontrer que la fonction f est positive sur R+, mais ce n'est pas l'esprit de l'exercice.

Cordialement.

[invitee3037389]

J’ai réussi avec une étude de fonction sans problème !

Merci pour vos réponses qui m’ont bien aidé

Bonne soirée