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Montrer qu’une fonction est positive



  1. #1
    Endewooman

    Montrer qu’une fonction est positive

    Bonjour,

    Je prépare ma rentrée en ingénierie à l’aide du livre «*Savoir faire en maths*». Un problème me pose quelques soucis, même après avoir vu la solution.

    Montrer que la fonction (x+1)^3/(7x^2-5x+1) > ou égale à 1 pour x > ou égal à zéro. En déduire que
    f(x) = (x^3-4x^2+8x+10)/(x^2+1) est positif pour x > ou égal à zéro.

    J’arrive à montrer que la première fonction est positive, mais je ne vois pas en quoi cela m’aide pour f(x)... j’ai essayé de diviser par (x+1), sans succès.

    Merci d’avance

    -----


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  3. #2
    Resartus

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    Bonjour,
    Vous avez bien montré que la première fonction Numerateur/Denominateur est supérieure à 1? (pas seulement positive…)
    Que peut-on alors dire de Numerateur-Denominateur?
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  4. #3
    Endewooman

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    Alors non, j’ai effectivement un problème avec ce point-là. Je pense qu’il suffit de montrer que (x+1)^3 est supérieur au dénominateur... J’ai essayé par récurrence mais ça ne donne rien, je cherche une autre méthode

  5. #4
    Endewooman

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    Et en faisant numérateur - dénominateur, je trouve x^3-4x^2+8x. Qui ressemble effectivement au numérateur de ma deuxième fonction

  6. #5
    gg0

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    Bonjour.

    ce n'est pas la première question de ton problème. Qu'as-tu fait avant ? N'aurais-tu pas étudié ta " fonction (x+1)^3/(7x^2-5x+1) " ?

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Endewooman

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    La première question était de montrer que ma première fonction est plus grande que 1 pour x plus grand que zéro. J’ai pu montrer qu’elle est positive, mais pas encore supérieure à 1.

    De cela découle que f(x) est supérieur à zéro, j’ai pu le montrer en faisant ce que suggérait Resartus (merci beaucoup d’ailleurs !), car comme la première fonction est supérieure à 1, numérateur - dénominateur est supérieur à zéro. Comme numérateur - dénominateur est inférieur à f(x), f(x) est également supérieure à zéro.

    J’ai cependant pris pour acquis que ma première fonction est supérieure à 1, je cherche encore à le montrer.

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  10. #7
    gg0

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    Alors tu peux utiliser une méthode classique au lycée : étudier ta fonction g(x)=(x+1)^3/(7x^2-5x+1), ce qui ne pose aucun problème, et regarder ce qu'elle fait sur [0,+oo[.

    Bon travail !

  11. #8
    Endewooman

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    Je cherchais du plus rapide, mais effectivement, c’est une bonne solution, il ne faut pas être paresseux pour faire des maths

    Merci pour l’aide et bonne soirée !

  12. #9
    duduch74

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    bonjour
    x^2+1 étant strictement positif quelque soit x, ne pourrait-on se contenter d'étudier le signe de x^3-4x^2+8x+10 en étudiant au préalable ses variations (éventuellement avec un petit théoreme des valeurs intermédiaires pour le zéro) ?
    Mais dans ce cas je ne vois pas trop le lien avec la première fonction

  13. #10
    gg0

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    Il y a sans doute d'autres méthodes pour démontrer que la fonction f est positive sur R+, mais ce n'est pas l'esprit de l'exercice.

    Cordialement.

  14. #11
    Endewooman

    Re : Montrer qu’une fonction est positive

    J’ai réussi avec une étude de fonction sans problème !

    Merci pour vos réponses qui m’ont bien aidé

    Bonne soirée

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