Suite.

[julien_4230]

Bonjour,

Soit Un = (intégrale de 0 à 1) x^n * ln(x+1) dx.

Démontrer : 0 =< Un =< ln2 / n+1.

Je ne sais pas comment commencer ! Ca fait 1h30 que je cherche la réponse à cette question, venue de l'enfer !!!

Merci de m'aider...
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[matthias]

Il suffit d'encadrer ln(x+1) entre deux constantes (sachant que x est dans [0;1]), puis d'intégrer.

[julien_4230]

Il suffit d'encadrer ln(x+1) entre deux constantes (sachant que x est dans [0;1]), puis d'intégrer.

Merci beaucoup ! Mais comment... comment savoir qu'il faut partir comme cela pour trouver la réponse ?!

[matthias]

On te demande de trouver un encadrement, donc il paraît normal de commencer par encadrer la fonction sous l'intégrale (et le ln(2) est un gros indice). Ton résultat doit dépendre de n, donc tu te doutes qu'il ne faut encadrer que le logarithme et pas xⁿ. De plus, tu sais que l'intégrale entre 0 et 1 de xⁿ donne 1/(n+1). Enfin bref, tout ça mis bout à bout fait qu'avec un peu d'expérience et d'entrainement, ça te paraitra évident

[A voir en vidéo sur Futura]

[julien_4230]

En fait, vu qu'à droite de l'inéquation on a bel et bien un "ln entier", soit ln2, avec un "n+1", il est donc nécessaire d'encadrer ln afin d'obtenir à droite de l'inégalité des "entiers ln" avec des "n" si j'ai bien compris...
Pas de problème pour l'expérience et l'entraînement

Merci pour le coup de main.

A bientôt, et bon courage à tous pour le bac.