Flux de population et modélisation de suite

[Amelimeli]

Bonjour,

Voila mon exercice:

L'objet de ce travail est l'étude de flux de populations entre trois zones géographiques: une ville notée A, une zone périphérique notée B, et une zone de campagne notée C.
Pour modéliser les flux de populations, on fait les hypothèses suivantes:

-La population totale des trois zones reste constante.

-Chaque année la zone A perd 10% de sa population, mais accueille 10% de la population de la zone B et 1% de la population de la zone C.

-Chaque année la zone B perd 10% de sa population, mais accueille 10% de la population de la zone A et 1% de la population de la zone C.

-Chaque année la zone C perd 2% de sa population.

-Au premier janvier, la zone A comptait 5 000 habitants, la zone B en comptait 2 000 et la zone C 4 000.

On désiqgne par an, bn, cn les nombres d'habitants respectifs des zones A, B, C au premier janvier de l'année 2010+n.
On admettra, pour l'étude mathématiques que les nombres réel an, bn, cn peuvent ne pas être entier.

1.On souhaite décrire, avec le modèle ci-dessus, l'évolution des trois populations.

a) Représenter graphiquement, à l'aide d'un logicel les suites (an), (bn), (cn).

b) Conjecturer le sens de variations et la convergence des suites (an), (bn), (cn).

2. Pour chaque année 2010+n, soit dn la différence de populations entre les zones A etB
Conjecturer la nature de la suite (dn)

3.a) Déterminer cn et dn en fonction de n.

b)En déduire an et bnen fonction de n

c)Déterminer les limites des suites an, bn, cn

je trouve
an=5000-260n
bn=2000-340n
cn=4000-80n

Mais je n'ai pas l'impression que ce soit juste,

Quelqu'un peut il m'aider ?

Merci beaucoup pour votre aide,

Bonne soirée
-----

[gg0]

Bonjour.

On ne sait pas d'où tu sors ces résultats. Explique comment tu les as trouvés.

Cordialement.

NB : Combien vaut bn pour n=6 ?

[Amelimeli]

J'ai calculé an=5000-(0.1*5000n)+(0.1*2000n)+(0.01* 40n)
Soit la population totale moins 10% de la population A multiplie par le nombre d'années 2010+n plus 10% de la population B multiplie par le nombre d'année 2010 +n plus 1% de la population C multiplie par le nombre d'année 2010+n

Est ceci pour chaque expression

[gg0]

"Chaque année la zone A perd 10% de sa population, mais accueille 10% de la population de la zone B et 1% de la population de la zone C. "
ne donne pas
"an=5000-(0.1*5000n)+(0.1*2000n)+(0.01* 40n)"

La première étape est de traduire correctement l'énoncé. ce qui va permettre d'utiliser par exemple un tableur pour calculer les différentes valeurs successives de an, bn et cn, et même de les représenter avec sa partie graphique.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bjr,
c'est totalement faux car à chaque année, les populations évoluent, donc tu ne peux faire un calcul global ( pour an par exemple ) sur la base des populations initiales.
d'ailleurs tu arrives à un résultat absurde puisque toutes tes populations diminuent , alors que leur somme est stable.
Il s'agit d'étude de suites !

- fais d'abord un tableur excel itératif ( une ligne par année )
- en parallèle mets les données que tu as en équation
par exemple :
a(n+1)=0,9*an+0,1bn+0,01cn
etc. ( ces formules sont à intégrer pour construire ton tableur )
pour la résolution analytique
les évolutions de cn et dn sont évidentes !

en attendant ton travail.

edit: croisement ( pas vu )

[danyvio]

Quand une valeur initiale diminue de 10 % par an, au bout de n années, cette valeur est égale à (valeur initiale ) * 0.9ⁿ et non (valeur initiale ) * 0.9n
(ce n'est vrai que pour n = 1)

[Amelimeli]

Merci pour la réponse

an=an-1*0.9+bn-1*0.1+cn-1*0.01

bn=an-1*0.1+bn-1*0.9+cn-1+0.01

cn= cn-1*0.98

Mais comment faire
une représentation graphique ?

[ansset]

re-
déjà, mets des parenthèses ou des indices car ce n'est pas:
an=an-1*0.9+bn-1*0.1+cn-1*0.01 mais
an=a(n-1)*0.9+b(n-1)*0.1+c(n-1)*0.01
ensuite pour répondre à la première question , je t'ai proposé d'utiliser excel, mais il existe d'autre soft qui permettent de tracer des courbes à partir de suites discrètes.
pour les suites elles-mêmes sous excel
en ligne les années successives
en colonne les différentes populations ( en y incluant dn )
facile de construire la ligne n+1 à partir de la ligne n avec les différentes équations.
si tu ne sais pas faire, il faut apprendre !

[gg0]

Avec une calculette 4 opérations, on peut déjà calculer les 20 premiers termes de chaque suite. Puis on utilise un logiciel (c'est demandé) pour représenter simultanément les 3 suites, de l'année 0 à l'année 20.
Bien sûr, un tableur fait ça très facilement.

[ansset]

normalement tu devrais obtenir ceci

[ansset]

me suis permis ce coup de pouce pour qu'il tombe juste sur ce début et ne perde pas trop de temps sur cette question, car l'essentiel du travail mathématique est après, nécessite des "calculs", et j'ai l'intuition que c'est pas gagné vu la première "résolution".
sachant que c'est quand même à lui de faire le tableau , en sus du graphique.