Besoin d'aide en Maths TS - Les suites numériques.

[invitee925db98]

Bonjour,
J'ai un DS lundi et je coince sur un exercice depuis quelques jours...
Alors, voilà l'énoncé:
On considère deux suites (Vn) et (Un) définies par U0= 2 et pour tout n appartenant à N, un+1 = 5un - 1 / un + 3 et Vn = un - 3/ un -1.

1) Conjecturer une forme explicite pour Vn.

On a après calcule, Uo =2 U1 = 7/3 U2 = 13/5 et U3 = 25/9
donc Vo = -1 V1= -1/2 V2= -1/4 et V3 = -1/8
Donc on peut penser que Vn = (1/2)^n x (- 1) donc Vn+1 = 1/2 x Vn

Pour cela, je transforme l'équation Vn = un - 3/ un -1 en un = Vn -3 /Vn -1

Puis je prends l'équation Vn+1 = (un+1) -3/ (un+1) -1 = (5un - 3 /un+1) -3 /(5un - 3 /un+1) -1 = (2un-6/un +1)/(4un-4/un+1) = un-3/2un-2
On remplace un par Vn:
un-3/2un-2 =( Vn-3/vn -1) -3 /(2Vn -6 / Vn -1)-2 = (-2Vn /Vn -1)/(-4/Vn -1) = -2Vn / -4 = (1/2)Vn

Donc Vn = (1/2)^n x (-1)

2) En déduire une conjecture pour Un.

Donc Un = Vn -3 /Vn -1 = (1/2)^n x (-1) -3 /(1/2)^n x (-1)-1 = - (1/2)^n-3/-(1/2)^n -1

3) La démontrer.

Par récurrence: Initialisation: U0 = 2 et - (1/2)^0-3/-(1/2)^0 -1=-4/-2 = 2
Hérédité: On suppose Un vraie c'est à dire Un = - (1/2)^n-3/-(1/2)^n -1
Montrons que Un+1 vraire c'est à dire Un+1 = - (1/2)^(n+1)-3/-(1/2)^(n+1) -1
Par définition de la suite:
Un+1 = 5un -3 / un +1 = 5(- (1/2)^n-3/-(1/2)^n -1)-3 / (- (1/2)^n-3/-(1/2)^n -1)-1 = -(1/2)^n x 5 -15 +3x(1/2)^n +3/-(1/2)^n-3-(1/2)^n-1) =
=(1/2)^n (-5+3) -12/-(1/2)^2n -4 =-2 x (1/2)^n -12/ -(1/2)^2n -4 = (1/2)^n -6 / 2+(1/2)^2n+1

Et je n'arrive pas à aller plus loin.
Pouvez-vous m'aider svp?
Merci d'avance.
-----

[invite51d17075]

Bonjour,
J'ai un DS lundi et je coince sur un exercice depuis quelques jours...
Alors, voilà l'énoncé:
On considère deux suites (Vn) et (Un) définies par U0= 2 et pour tout n appartenant à N, un+1 = 5un - 1 / un + 3 et Vn = un - 3/ un -1.

1) Conjecturer une forme explicite pour Vn.

On a après calcule, Uo =2 U1 = 7/3 U2 = 13/5 et U3 = 25/9

Pour commencer comment obtiens tu 7/3 ?
Ou sont les parenthèses dans la formulation de u(n+1) ?
car je ne vois rien qui corresponde

[invitee925db98]

En reprenant la formule, je trouve un+1 = (-2(1/2)^n -12/-(1/2)^n-1)/(-(1/2)^n+1 -4/ -(1/2)^n -1)= -2x -(1/2)^n -12/ -(1/2)^n+1 -4
= 4 x (-(1/2)) x -(1/2)^n -12 / -2(1/2)^n -4 = 4(-(1/2)^n+1 -3)/ 4(-(1/2)(1/2)^n -4)= -(1/2)^n+1 -3/ -(1/2)^n+1 -1).
Donc Un+1 est vraie donc un= - (1/2)^n-3/-(1/2)^n -1

[invitee925db98]

Excusez moi, je n'avais pas vu votre réponse...
Et j'utilise la formule un+1 = 5un -3 /un+1 car u0 = 2 donc u1 = 5 x 2 -3/ 2+1 = 7/3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Ce résultat ne correspond pas aux premières valeurs que tu dis avoir calculées.
Ce qui pose problème.
Peux tu répondre à ma première question ?

[invite51d17075]

Excusez moi, je n'avais pas vu votre réponse...
Et j'utilise la formule un+1 = 5un -3 /un+1 car u0 = 2 donc u1 = 5 x 2 -3/ 2+1 = 7/3

mais tu avais écrit :
un+1 = 5un - 1 / un + 3
Or, il s'agirait de ( en tout cas c'est ce que tu fais )
U(n+1)=(5Un-3)/(Un+1)
Quelle est la vraie formule ?
comment veux tu que l'on comprenne qcq chose à ton exercice ???????

[invitee925db98]

Oui, c'est cela.
Et donc, U(n+1) = - (1/2)^(n+1)-3/-(1/2)^(n+1) -1 ce que j'ai démontrer par récurrence.

[invite51d17075]

Et mets des parenthèses.
aucune formule n'est lisible ! donc y compris ton résultat final ( qui peut être surement simplifié sans tous ces (-) )

[invite51d17075]

Oui, c'est cela.
Et donc, U(n+1) = - (1/2)^(n+1)-3/-(1/2)^(n+1) -1 ce que j'ai démontrer par récurrence.

c'est cela quoi ?
tu veux dire que ta présentation initiale de l'énoncé était totalement fausse ?
et donc que tu as fait des calculs sur la base d'une formule qu'on ne pouvait pas connaitre .
c'est regrettable quand on demande un avis.

quand à ta formule finale , elle se simplifie
Un= (3*2^n+1)/(2^n+1)
car ton expression est illisible sans parenthèse.
et pour moi, ça vaut 0 écrit ainsi !