bonjour
en fait j'ai un problème de maths pour les révisions de bac que j'arrive pas à résoudre
C'est le sujet 1986 (antilles) :dans le repère (O,i,j,k)
u, v et h, etant des réels tels que (u,v) =/= (0,0), on considère la droite D d'équation ux+vy+h=0 dans le plan z=0,
>Déterminez les coordonnées (x',y',z') du point M' image de M dans la projection orthogonale sur D, en fonction des coordonnées (x,y,z) de M.
J'ai essayé de prendre un point S sur la droite D puis de tenter le produit scalaire SM'.MM'=0 (avec des vecteurs) mais ça marche pas...
J'ai aussi essayé le triangle rectangle en M'...
Merci d'avance pour votre aide
2 voies possibles :Envoyé par whirlwind
1) celle que tu indiques (S ?) mais en posant toutes les équations
M'(x',y',z') vérifient
i) sur la droite D donc deux équations
z=0
et ux+vy+h=0
ii) vecteur directeur de D.vecteur MM'=0
un vecteur directeur n'est pas difficile à trouver (une composante est nulle)
2ème voie : on peut projeter en deux temps
i) on projette M en M" sur le plan (Oxy) contenant la droite D (c'est très facilen de déterminer lles coordonnées de M")
ii) on projette M" sur D mais cette fois on s'est ramené à un problème dans le plan qui est (si je me rappelle bien du cours)
pour la première méthode c'est ce que j'ai fait mais je trouve un truc complètement aberrant et je me suis dit que c'était pas ça...:
y'=(y^2uv - x^2uv + hxv + yhu)/(yuv - hu - v^2x)
en fait j'ai deux équations à deux inconnues x' et y' :
ux'+vy'+h =0 et
x(x-x')-(y-y')(y+(h/v))=0 (résultat du produit scalaire que j'ai donné plus haut avec S(0, h/v ,0)
Je suppose que je me complique la vie...et que je me suis complètement planté vu le résultat...
Sinon pour la deuxième méthode, elle revient au même non?à moins que je n'aie rien compris à la méthode qu'on utilise pour trouver un projeté...
Je suppose que tu veux dire (0, -h/v, 0). Mais il n'est pas dit qu'un tel point existe puisque tu ne sais pas que v est non nul.
Ensuite, tu te compliques vraiment la vie en faisant le produit scalaire par SM', au lieu de le faire par un vecteur directeur donné dont les coordonnées sont fixées.
Oui, mais :Sinon pour la deuxième méthode, elle revient au même non?
i) elle explique l'indépendance de la réponse par rapport à z
ii) les problèmes dans le plan paraissent plus faciles (aspect psychologique qui dépend des personnes)
Sinon, tu as vu qu'avec, ça aboutit à des équations pénibles.
De plus (sans oublier le problème évoqué par Matthias), un autre problème peut se poser quand M' se projette en S (le vecteur SM' devenant nul).
Tu verras qu'avec un vecteur directeur, ces difficultés disparaissent
Essaie avec un vecteur directeur
oui c'est bien "-h/v" pardon, et il est dit plus haut que u et v sont non nuls
j'ai trouvé comme vecteur directeur (-hv, hu,0)
c'est juste?? j'avoue que j'ai du mal avec ce genre de truc...
Non, il n'est pas dit ça, il est dit que (u,v) diff. (0,0), c'est pas la même chose
Il faudrait que le produit de u par v soit différent de 0.
Un vecteur directeur de la droite d'équation ax+by+c=0 est
Bien sûr, comme tu travailles dans le plan, tu dois pas oublier la côte.
Et pour ne pas tourner autour du pot, cela signifie concrètement que u et v ne sont pas tous les deux nuls, mais on peut avoir u nul avec v non nul ou l'inverse.
C'est juste, si h est non nul. Si h = 0 ton vecteur est le vecteur nul, et comme il n'a pas de direction particulière tu vas avoir un problème.
En conclusion, il faut que tu arrives à justifier proprement que ta droite admet pour vecteur directeur (-v;u;0).
Ah ok merci, j'avais pas compris que ça voulais dire çamerci ça m'arrange pour le bac
d'accord, j'avais oublié qu'il suffisait que les vecteurs soient colinéaires...on doit "simplifier" par h
j'ai trouvé un truc moins compliqué et qui m'a l'air de marcher pour la suite de l'exo :
y'= (xu^2 - uvx +vh)/(v^2 +u^2)
c'est bien ça je crois...et
Merci pour votre aide !
Ca y ressemble, mais je pense que tu as fait une erreur. Tu devrais plutôt trouver :
y' = (u²y - uvx - vh) / (u² + v²)
Ceci-dit, la manière dont tu le démontres est aussi importante sinon plus que le résultat lui-même. Si tu veux t'entrainer pour le Bac, tu peux essayer de nous donner une démonstration détaillée, on te dira s'il y a des imprécisions ou des erreurs.
je vais vous détailler le calcul :
vecteur u : (-v;u;0)
donc produit scalaire des vecteurs :
MM'.u = -v(x'-x) + u(y'-y) = 0
on développe...
on a donc un système à deux inconnues x' et y' (on connaît z'=0 déjà) :
{-vx' + uy' = -vx+uy (produit scalaire)
ux'+vy' = -h (équation de la droite)
<=> {-uvx' + u²y' = -uvx + u²y
uvx' + v²y' = -hv
d'où : (u² + v²)y' = -uvx + u²y -hv
donc y' = (u²y - uvx - vh) / (u² + v²)
En fait c'était une erreur stupide de "copier-coller"+ une erreur de signe : non seulement j'ai mal recopié mais en plus il y avait une erreur de signe dans le résultat...
Merci beaucoup (quant à moi, je vais devoir vérifier la suite de l'exo aussi tant que j'y suis...)
Tu vas sûrement trouver que c'est du chipotage, mais quand tu multiplies une des équations par u, tu perds l'équivalence si u = 0.
Tu remarqueras que si u=0, ton système modifié permet de calculer y', mais pas x'.
Si j'ai bien compris, alors on ne peut pas faire de combinaison linéaire mais seulement de la substitution dans le cas où u et v ne sont pas "non-nuls" ...
c'est que c'est moins pratique là...parce qu'on va devoir diviser par u ou v et c'est pire non??
on doit faire quoi alors..?
Est-ce qu'on peut supposer u et v non nuls sans que ce soit dans l'énoncé?
Si tu veux vraiment travailler par équivalence, tu peux garder l'équation non multipliée par u dans ton système. Ca te donne 3 équations, ce n'est pas très beau, mais bon ...
Sinon, tu ne regardes que les implications, et tu peux faire une petite vérification ensuite, ou alors tu sépares les cas. Tu as le choix.
et VIVE LE BAC...
voilà, je me permets de vous déranger une fois de plus...
e^-x est toujours positif, il suffit de dire :
"comme pour tout x, e^x est tjs positif ( propriété qui, je l'espère, n'est pas à redémontrer chaque fois qu'on en a besoin -pour le bac en tout cas...- mais si vous pouviez me le confimer ce serait aussi bien
il ya t il un moyen de dire ça rapidement parce que par composition c'est assez long...et comme on a souvent ça dans les exos...
Merci d'avance.
Non, ce n'est heureusement pas à redémontrer à chaque fois. L'exponentielle de quoi que ce soit est toujours strictement positive, pas vraiment besoin de parler de composition. Si tu tiens à donner une justification, tu peux dire que exponentielle est à valeur dans ]0;+infini[."comme pour tout x, e^x est tjs positif ( propriété qui, je l'espère, n'est pas à redémontrer chaque fois qu'on en a besoin -pour le bac en tout cas...- mais si vous pouviez me le confimer ce serait aussi bien
