Analyse - domaine

[Follium]

Bonjour à toutes et à tous.

J'ai du oublier quelque chose sur la continuité...

Soit la fonction :

.

En faisant le domaine, on trouve R\{2}.

Or en regardant mon grapheur, il n'y a pas de "trous". D'ailleurs, la limite en x = 2 existerait :

.

Je l'obtiens en simplifiant par (x-2) :

Quand on a des "trous" dans le domaine, doit-on obligatoirement regarder les limites en ces points particuliers pour vérifier qu'il y a valeurs permises/non permises?

Merci.

Follium
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[gg0]

Bonsoir.

le domaine de définition de ta fonction, donnée par un calcul, est bien R privé de la valeur 2. Mais ta fonction est prolongeable par continuité en 2, et devient alors la fonction x--> x+3. Qui n'est pas la fonction donnée par le calcul initial.

La pratique habituelle est de regarder les limites "aux bornes du domaine de définition". Ici, 2 en est une.

Cordialement.

NB : le tracé par un grapheur n'est pas la courbe de la fonction. D'ailleurs, dans de nombreux cas, ce n'est même pas une courbe de fonction (traits "verticaux").

[Follium]

Bonsoir gg0 et merci de ton temps et de ta réponse!

Si ma fonction est prolongeable par continuité, alors elle est continue, non? Et donc la valeur de x=2 appartient au domaine?

Merci.

Follium

[Follium]

Edit : ça créé .

Ok, j'ai compris, merci beaucoup!

Il me semblait bien que l'on ne pouvait pas simplifier sans poser de conditions.

Follium

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

La fonction de départ est définie sur .

Moyennant certaines manipulations (ici en simplifiant par , ce qui est licite, je rappelle, uniquement si ), on arrive une une fonction qui ressemble à , mais qui est définie sur un ensemble plus grand. Ça n'est donc plus la fonction de départ. C'est une fonction qui prolonge la fonction de départ.

Un exemple peut-être plus spectaculaire est celui de la série . Cette somme est convergente si et seulement si , et on a alors .

Mais alors, vous vous dites que c'est génial, parce que le membre de droite est défini pour . Mais dès lors il ne s'agit plus de la même fonction, puisque celle de départ donnée par la somme n'est définie que pour .

prolonge sur la fonction définie sur .