TPE alvéole abeille

[ansset]

oublier de compléter.
en dehors de la structure spécifique du fond lui-même , les dimensions globales des alvéoles ( dont la hauteur ) sont bien évidemment liées à ce qu'elles doivent stocker : miel, œufs, larves ....
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[Merlin95]

ici, il s'agit de l'optimisation du fond de celle-ci , qui est d'ailleurs commune ( de manière conjointe avec ses voisines ) avec les alvéoles opposées.

désolé je "visualise" pas le problème, je vois pas où est le fond ici, sur le 1er schéma la structure en question est en haut.
Je vois pas de quoi vous voulez parler par alvéoles opposées. Ni de quelles surfaces on parle. En gros, je comprends pas grand chose au problème.

[Paulg75]

En effet grâce à l'utilisation de la symétrie j'ai pu démontrer que les volumes des deux prismes étaient égaux.J'ai hier pu exécuter quelques calculs je vous les montrerai dans l'après-midi (ou plus tôt) mais j'ai bien trouvé que le prisme a fond rhomboïdale présente une aire bien plus grande que celle du prisme a fond plat

[ansset]

mais j'ai bien trouvé que le prisme a fond rhomboïdale présente une aire bien plus grande que celle du prisme a fond plat

curieux.
car justement il existe un intervalle pour x/a tel que l'aire du fond rhomboïde est inférieure à celle du fond plat.
avec une valeur pour laquelle il est optimal. ( avec un gain de 10% env )
c'est tout l'intérêt de l'exercice ( et l'ingéniosité des abeilles ).

[ansset]

plus précisément, je trouve que le fond rhomboïde est "meilleur" que le fond plat pour
0<=x/a<=rac(3)/2 avec un optimum pour x/a=1/(2rac(2))=rac(2)/4.

[Paulg75]

Je vous montre mes calculs :

Aire du prisme a fond plat : (AB=1 , OS=x et AD=h)

Afp= Aabed + Aaocb + Abcef

ABED et BCEF sont des faces latérales du prismes et sont tout deux des rectangles donc Aabed = AB*AD=1*h=h et logiquement Abcef = h

AOCB est un losange et son aire s'exprime part : (d1*d2)/2 soit Aaocb = (OB*CA)/2 = (1*rac(3))/2 = rac(3)/2 (CA vaut deux fois AG qui vaut lui même rac(3)/2)

Pour conclure: Afp = h +h + rac(3)/2 = 2h + rac(3)/2

[Paulg75]

(Dites le moi si j'ai commis une erreur et j'ai oublié de préciser qu'on étudie l'aire sur un seul tiers du prisme)

Aire du prisme à fond rhomboÏdale :

Afr= Aab'ed + Ab'efc +Aab'cs
+
On commence par les trapèzes : Aab'ed = (AD+EB')/2*DE = (h+h-x)/2*1=(2h-x)/2=h-(x/2) et logiquement Ab'efc = h-(x/2)
/
SAB'C est un losange donc Asab'c = (AC*SB')/2 = (rac(3)*rac(4x^2+1))/2 = 1/2*rac(12x^2+3) (j'ai eu besoin d'aide pour SB' je ne vous le cache pas ^^ , je peux vous expliquer comment j'en suis arriver a la longueur de ce côté si vous voulez plus de précisions)

Pour conclure: Afr = h-x/2 + h-x/2 + 1/2*rac(12x^2+3) = 2h -x + 1/2*rac(12x^2+3)

Là je suis proche du but je dois résoudre une inéquation. Cependant ansset je trouve que votre méthode est bien meilleur et plus rapide qu' en pensez vous ? et oui en effet comme je dois résoudre une inéquation il y' a en effet pour certaines valeurs où l'aire du prisme à fond rhomboidale est inférieur à l'aire du prisme à fond plat.

[ansset]

prendre l'intégralité de l'alvéole complique inutilement les calculs, il me semble.
on cherche à comparer les deux configurations fond plat / fond rhomboïde. (ou plafond)

supposons que l'alvéole à fond plat soit de hauteur h.
remplacer son fond par un fond rhomboïde revient à construire un autre fond de h-x à h+x , donc sur une hauteur de 2x.on a donc à comparer un fond plat de hauteur x et un fond rhomboïde de hauteur 2x.

es tu d'accord avec ça ?

[ansset]

dit autrement, quand on remplace le fond de l'alvéole totalement hexagonale pour y mettre un fond rhomboïde, on enlève la tête d'une hauteur x pour la remplacer par une autre de forme différente et de hauteur 2x.
d'où la comparaison ad hoc des deux config.
c'est aussi la manière la plus directe pour montrer que les deux volumes sont identiques.

[Paulg75]

Oui je suis d'accord ça va beaucoup plus vite et ça me permettrai d'être plus claire lors de mon oral.

Je vous donne quand même le résultat de mon inéquation je trouve que l'aire du prisme tronqué est optimale quand x ( donc OS) est compris entre 0 et rac(3)/2

[Paulg75]

Donc je reprends les calculs que vous avez publié ce midi ?

[ansset]

Oui je suis d'accord ça va beaucoup plus vite et ça me permettrai d'être plus claire lors de mon oral.

Je vous donne quand même le résultat de mon inéquation je trouve que l'aire du prisme tronqué est optimale quand x ( donc OS) est compris entre 0 et rac(3)/2

ça c'est le bon intervalle pour lequel la solution "rhomboïde" est meilleure.
sachant qu'elle est équivalente aux extrémités ( en x=0 et en x=rac(3)/2)
( le x ici étant pour a=1 ou l'équivalent de x/a bien sur )

elle "optimale" pour un x0 à l'intérieur de cet intervalle.
là ou la dérivée ( de la diff des surfaces ) s'annule.
je trouve de mon coté que c'est en x0=1/(2rac(2))=rac(2)/4

et pour cette valeur je trouve que le rapport des surfaces donne un gain d'env 10%.

[Merlin95]

Pour conclure: Afr = h-x/2 + h-x/2 + 1/2*rac(12x^2+3) = 2h -x + 1/2*rac(12x^2+3)

Pas sûr de comprendre vos derniers échanges, mais il suffit de dériver cette expression pour déterminer le maximum de cette fonction.

Afr' = -1 + 1/2*1/2*24 x / rac(12x^2+3) = 6x/rac(12x^2+3) - 1
Afr' = 0 => 36x^2/(12x^2+3) = 1
=> 36x^2 = 12x^2+3
=>24x^2 = 3
=> x = 1/(2 rac(2))

Afr MAX = 2h - 1/(2 rac(2)) + 1/2*rac(3/2+3)

[Paulg75]

Afr n'est pas une fonction c'est l'aire du prisme à base rhomboidale (Aire a fond rhomboidal j'ai pris les initiales). Donc si je dérive ce résultat je peux trouver la valeur exacte ?
C'est super mais le problème c'est que ça paraît difficile sans oublier que je ne dois pas passer les 10 minutes de parole lors de mon oral.

[Merlin95]

Afr MAX - Afp = 1/(2 rac(2)) +3/2*rac(1/2) - rac(3)/2 = rac(2)-rac(3)/2 à peu près égal à 0.548 > 0

[Merlin95]

En partant du principe que tes calculs sont corrects :

Afr n'est pas une fonction c'est l'aire du prisme à base rhomboidale (Aire a fond rhomboidal j'ai pris les initiales).

Cette aire dépend de x donc c'est une fonction de x.

Donc si je dérive ce résultat je peux trouver la valeur exacte ?

Oui si tu dérives et tu cherches où la dérivée s'annule, tu trouves l'extremum, qui est un maximum c'est ce que j'ai fait la dérivée vaut 6x/rac(12x^2+3) - 1.

C'est super mais le problème c'est que ça paraît difficile sans oublier que je ne dois pas passer les 10 minutes de parole lors de mon oral.

Non ce n'est pas difficile. La différence d'aire max entre une alvéole à fond rhomboidale et à fond plat vaut rac(2)-rac(3)/2.

Mais il est vrai que je n'ai pas compris le raisonnement de Ansset.

[ansset]

Afr MAX - Afp = 1/(2 rac(2)) +3/2*rac(1/2) - rac(3)/2 = rac(2)-rac(3)/2 à peu près égal à 0.548 > 0

comprend rien.
on ne cherche pas AfrMAX -Afp , mais le min de ( Afr-Afp )
bon , je vais essayé de posté une proposition de présentation des calculs.

[Merlin95]

Le min de ( Afr-Afp ) est 0 pour x = 0 (on voit avec les formules données que Afr = Afp quand on remplace x par 0, ce qui est cohérent).

Afr est une fonction de x, Afr(x). Et on cherche à optimiser cette aire en fonction de x, c'est-à-dire on cherche pour quel x cette aire est maximale.

[ansset]

non , minimale !!!!

reprenons, même si je répète mon introduction.
on compare les deux configurations fond plat / fond rhomboïde. (ou plafond)

soit une alvéole à fond plat de hauteur h.
remplacer son fond par un fond rhomboïde revient à en construire un autre de h-x à h+x , donc sur une hauteur de 2x.on a donc à comparer un fond plat de hauteur x et un fond rhomboïde de hauteur 2x.

on suppose que l'on a déjà montré que les deux volumes étaient identiques, car ce qu'on rajoute en haut avec le rhomboïde est compenser par ce qu'on enlève en bas.
le calcul a dit avoir été fait.

passons aux surfaces.
le rhomboïde :
il est constitué des 3 surfaces des losanges + 6 surfaces des triangles pour "boucher les trous".
les losanges ont pour diagonales :
et
les triangles ont pour base a et hauteur x.
surface des 3 losanges :

surface des 6 triangles :

surface totale :


le fond hexagonal :
surface :




pour simplifier la suite, prenons a=1
soit Sr la surface rhomboïde du fond et Sh la surface hexagonale.

la différence simplifiée devient :
soit



soit

cette fonction s'annule en x=0 et x=rac(3)/2
et a un minimum négatif en x=1/(2rac(2))=rac(2)/4 ( dérivée nulle )

en ce minimum:


et le rapport
vaut env 0,9 .

avec le rhomboïde, on peux gagner jusqu'à 10% de surface à construire pour le même volume.

[Merlin95]

non , minimale !!!!

en effet minimale : https://www.wolframalpha.com/input/?...t(12x%5E2%2B3)

Mais cette aire minimale reste supérieure à l'aire d'une alvéole à fond plat.

[ansset]

ps : la fct f(x) n'a pas de maximum,
la différence des surfaces tend vers l'inf avec x.
et avec une asymptote oblique
a(x)=2(1-1/rac(3))x-1

[Merlin95]

elle a une limite physique, pour x = h

[ansset]

Mais cette aire minimale reste supérieure à l'aire d'une alvéole à fond plat.

NON, je viens d'en faire la démo complète.
d'ailleurs, c'est la "magie" du truc, qui est d'ailleurs bien rappeler sur la page wiki sur les alvéoles d'abeilles.
mais je trouve leurs explications mathématiques pas très claires.

[Merlin95]

le fond hexagonal :
surface :

il y a quelque chose que je ne comprends pas dans tes explications. Comment vois tu le fond hexagonal ? Car pour moi il correspond à un fond rhomboidale lorsque x = 0, non ? Donc l'aire de la structure hexagonale (qui ne dépend pas de x, puisqu'elle correspond à x=0) = aire de la structure rhomboidale pour x = 0. Non ?

[ansset]

quand x=0, en fait on ne change rien.
le fond hexagonal = le fond rhomboïdal
c'est d'ailleurs pourquoi on retrouve une diff de surface =0.
mais si on fait un vrai fond rhomboïdal, à la place ( et non au dessus ) d'un fond hexagonal, cela revient à remplacer une partie du fond hexagonal.
sinon la comparaison n'aurait aucun intérêt.
donc on remplace un fond hexagonal de hauteur x par un rhomboïdal qui lui a une hauteur de 2x au total.
ces deux "fermetures" ayant d'ailleurs le même volume.

je me demande si tu as bien saisi le principe.(*)
en tout Paulg75 si, c'est certain.
j'attends son retour pour qu'il me dise si mes calculs lui semblent clairs.

(*) c'est d'ailleurs expliqué aussi dans le lien wiki, et j'ai l'impression de répéter n fois la même chose là !

[Merlin95]

Désolé, je ne comprends pas personnellement (pourtant j'essaie). Le principal est que Paulg75 comprenne.

[ansset]

l'idéal serait de faire un croquis représentant les deux "solutions" cote à cote , mais je suis une brèle avec géogébra....
Cordialement.

[Paulg75]

Bonsoir ansset et Merlin95,

J'ai conservé mes calculs concernant les aires des deux prismes puis j'ai pris vos calculs sur l'étude de la dérivée de Afr(x) grâce à cela je montrerai qu'avec une mesure précise ( que vous m'avez tout deux délivrée) on peut avoir la forme optimal de l'alvéole tout en utilisant moins de cire et en possédant une aire plus grande que l'alvéole à fond plat je vais voir si je peux insérer la partie pour démontrer le pourcentage d'économie de cire bâtissant une alvéole a prisme rhomboïdale.

[Paulg75]

Mais à partir de la.valeur précise comment je peux démontrer qu'on fait une économie de 10% de cire ?

[ansset]

J'ai conservé mes calculs concernant les aires des deux prismes puis j'ai pris vos calculs sur l'étude de la dérivée de Afr(x) grâce à cela je montrerai qu'avec une mesure précise ( que vous m'avez tout deux délivrée) on peut avoir la forme optimal de l'alvéole tout en utilisant moins de cire et en possédant une aire plus grande que l'alvéole à fond plat je vais voir si je peux insérer la partie pour démontrer le pourcentage d'économie de cire bâtissant une alvéole a prisme rhomboïdale.

non, si on choisi bien son x ( dans le bon intervalle) , l'aire est plus petite que pour l'alvéole à fond plat, c'est pour ça qu'il y a économie de cire. Et ce, à volume identique.

Mais à partir de la.valeur précise comment je peux démontrer qu'on fait une économie de 10% de cire ?

ben, je t'ai donné les 2 formules pour les aires ( que j'ai appelé S )
à la fois dans le cas général et avec le x "idéal" ( x=rac(2)/4=1/(2rac(2))
voir la fin de mon post #49
le rapport des deux donne 0,9 .....