TPE alvéole abeille

[Paulg75]

Bonjour à toutes et à tous,

Alors voilà je suis en 1s et je traite comme sujet de TPE les alvéoles aux dimensions (presque) parfaites, nous sommes entrain d'achever le sujet mais problème il y'a un petit point que je n'ai toujours pas compris je vous expose cela:Il faut que nous comparons deux aires de prisme a base différentes soit un prisme à base hexagonale et un prisme à base rhomboÏdale le problème est que malgré avoir cherché sur internet nous avons trouver certaines conjectures plutôt...difficiles donc serait-il possible qu'une âme charitable puisse m'aider ?

Merci d'avance ! (l'image sur laquelle je m'appuie)
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[gg0]

Difficile de t'aider sans savoir sur quoi ...

[ansset]

ou plus précisément quels sont ces prismes ?
même si celui à base hexagonale semble clair.

[Paulg75]

Alors oui il y'a d'abord un prisme a base hexagonal et l'autre prisme tronqué (prisme à base rhomboidale : 3 losanges pointant vers le haut) qui se trouve enfaite à la même place que le prisme à fond plat sauf qu'on le reconnait grâce au point S (prolongement).
Donc voilà mon problème est de comparer ces deux aires mais le problème et que je ne sais pas trop comment m'y apprendre donc merci d'avance à tous ceux qui m'expliqueront ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

supposons que tu parles bien d'aire et non de volume. ( même si les calculs sont du même type )
il te faut la hauteur h du prisme hexagonal (AD) ainsi que la variable x correspondant à OS=B'B
ensuite la longueur de l'hexagone est facile, donc l'aire du premier prisme aussi ( dépendant de h )
reste ensuite celle du losange ABCS.
enfin l'aire du second prisme se découpe en deux.
la partie sous h-x ( facile ) et la partie entre h-x et h+x.

je te laisse travailler.
Cdt

[Paulg75]

Merci de votre retour,

J'ai d'abord calculé l'aire du prisme à base hexagonal :

On suppose que AB=1 j'ai alors cherché l'apothème puis calculé l'aire de la base qui est de 2,60 cm^2 puis l'aire latérale qui est 6*AD cm^2 et enfin l'aire totale où j'ai trouvé 5,2 + 6*AD cm^2
Je ne suis vraiment pas sûr de cette conjecture n'hésitez pas à me corriger merci d'avance

[ansset]

bjr,
ça manque un poil de rigueur à mon goût.
tu devrais préciser AB=1cm si on te donne une unité( question de forme )
ensuite, tu n'es plus au collège, je suppose qu'on attend une formule exacte et pas approchée.
et tu la connais puisse que tu donnes une bonne approximation : soit A Aire(Hexagone)
( avec a longueur d'un coté )
si a=1 , tu peux néanmoins garder le reste de l'écriture mathématique, qui me semble plus propre.

nous attendons la suite......

ps: on te donne AB mais pas AD ????

[Paulg75]

Bonsoir,

Je vais exécuter de suite la correction que vous venez de me donner mais pour AB il est possible de supposer une valeur car sinon ce sera difficile pour la suite des calculs

[Paulg75]

Bah du coup le résultat reste (3*racine de 3 /2) maintenant il faut que je fasse pour le prisme tronqué mais c'est a partir d'ici que je bide ...

[ansset]

Bonsoir,

Je vais exécuter de suite la correction que vous venez de me donner mais pour AB il est possible de supposer une valeur car sinon ce sera difficile pour la suite des calculs

.
ce n'est pas très propre.
nommer les valeurs de base ( si on en donne aucune ) est préférable.
par exemple:
AB=a
DA=h
OS=B'B=x

[Paulg75]

D'accord je prends note merci , maintenant que j'ai l'aire du prisme a fond plat il faut trouver l'aire du prisme a fond rhomboidale j'essaie puis je vous donne mes résultats

[ansset]

ps : dans le cadre du TPE, tu es sûr que tu dois compter les surfaces haut et bas ? ( les alvéoles sont creuses , non ).
mais je ne connais pas la problématique qui te conduit à ce calcul.
peux tu nous l'expliquer ?

[Paulg75]

Oui en effet je compare ces deux aires pour expliquer quelle prisme permet une aire plus grand pour une utilisation de cire minimale normalement je dois trouver que l'aire du prisme tronqué est plus grande que l'aire du prisme a fond plat

[Paulg75]

Et on compare avec le fond plat car logiquement un prisme a fond plat a une aire plus grande qu'un prisme a fond creux (rhombe) mais à partir de ces calculs il faut prouver que cela est faux et que les abeilles ont en effet raison de construire des alvéoles a fond creux

[ansset]

Oui en effet je compare ces deux aires pour expliquer quelle prisme permet une aire plus grand pour une utilisation de cire minimale normalement je dois trouver que l'aire du prisme tronqué est plus grande que l'aire du prisme a fond plat

étrange ....., mais peut être parles tu du rapport aire/volume.
c-a-d l'optimisation de la structure.
quelle est l'orientation du prisme "tronqué" , verticale comme le prisme hexagonal ?

.....et que les abeilles ont en effet raison de construire des alvéoles a fond creux

il me semble que c'est pour y avoir accès non ?
et si les abeilles réalise des fonds creux, pourquoi calculer l'aire à fond plat ?

tout cela n'est pas clair.

[ansset]

il me semble ( à confirmer ? ) que tu cherches à montrer que la structure hexagonale est la structure optimale.
si c'est le cas, tu poses mal ton calcul. ( complexification inutile )

[ansset]

pardon de tripler.
cherches tu a mettre proprement en équation ce qui est expliqué ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Alv%C3..._un_hexagone_?

[Paulg75]

Tout d'abord merci de prêter attention à mon travail,

Oui en effet mon travail de TPE est d'expliquer pourquoi une forme hexagonale et de base rhombique, bien-sûr la partie démontré la forme hexagonale de l'alvéole a été faite j'ai réussi à le démontrer maintenant il faut que je cherche pourquoi le fond de l'alvéole est rhombique et non plat comme nous pouvions s'y attendre. Je rectifie : la forme rhomboidale sert en effet a plusieurs choses d'une part à bien conserver la chaleur, d'intégrer les larves et enfin une capacité optimale à stocker le miel

[Paulg75]

On compare l'alvéole à fond rhombique et une alvéole à fond plat ( les alvéoles des guêpes sont des prismes à base hexagonales) car beaucoup de personnes pensent que le fond de l'alvéole est plate. Pour ce qui est du volume j'ai montré que le volume du prisme tronqué est égal au volume du prisme non tronqué (plat). Maintenant pour moi ce qui est le plus difficile est de calculer leurs aires je cherche encore et je vous préviens si j'arriverai ( enfin) à une conclusion.

[ansset]

..... maintenant il faut que je cherche pourquoi le fond de l'alvéole est rhombique et non plat comme nous pouvions s'y attendre. Je rectifie : la forme rhomboidale sert en effet a plusieurs choses d'une part à bien conserver la chaleur, d'intégrer les larves et enfin une capacité optimale à stocker le miel

comme tu l'expliques, ce "choix" pour le fond de l'alvéole n'est pas du qu'à une optimisation du rapport Volume/Surface.
c'est aussi un choix "fonctionnel". Justifiant entre autres le fait qu'il ne soit pas plat.
il me semble donc difficile à première vue de retrouver cela uniquement par calcul.

[Paulg75]

Certes mais mon seul problème est de calculer l'aire de ces deux prismes par le calcul et montrer que le choix de l'alvéole à fond rhombique est plus avantageux

[Merlin95]

Pour ma part j'ai du mal à voir ce que vous appelez une base rhomboïdale.

Pour parler de surface dans ce cadre il faut que la base soit dans un plan. Pouvez vous indiquer les points qui définissent le rhomboïde dont vous parlez ? Je pense à ASCB' mais je ne suis pas sur. Si c'est cela il est clair que la surface de ASCB' est supérieure à celle de AOCB.

[Paulg75]

J'ai oublié de préciser qu'on étudie les aires sur 1 seul tiers du prisme ( et donc un seul losange formant la rhomboide) .
Vous avez raison , ASCB' sont les points formant la rhomboîde

[ansset]

il me semble (*) que tu as tout pour calculer la surface du fond rhomboïde dans le lien wiki ( post #17 )
il faut noter que ce fond ( associé à ceux des alvéoles voisines ) sert aussi de fond pour les alvéoles opposées.
et c'est cela qui semble contribuer à le rendre "optimal".

(*) : j'ai parcouru le lien en diagonale A relire donc..

[ansset]

voir les chapitres : "pourquoi des rhombes" et "calcul des angles".
si tu as des difficultés, précise les , et où....
bonne réflexion.

ps : remplacer "optimal" par "meilleur qu'un fond plat" ds mon précédent post.

[Paulg75]

Oui en effet je crois avoir réussi je vous montre mes calculs dans l'après-midi

[ansset]

En tout cas tu as choisi un sujet intéressant, et même s'il a déjà été abordé, il n'est pas si trivial que ça au niveau TPE pour la partie mathématique.
à la relecture du lien wiki, les explications sont justes mais peu détaillées sur les formules.
je t'invite, si tu ne l'as pas fait à procéder ainsi pour la présentation des calculs :
- montrer par calcul que les deux volumes sont identiques ( fond plat ou fond rhomboïde )
- calculer les surfaces pour chacun des cas ( on ne s'intéresse qu'au fond de l'alvéole bien sur ) et donc la diff.
la formule présentée dans le lien est simplifiée à un facteur multiplicatif près.
- en déduire le gain en % de la solution "rhomboïde".

ps : j'obtiens de mon coté pour un x optimal ( sauf erreur )
x=1/(2rac(2))
Sp=3a²(rac(3)/2+1/rac(2)) ( fond plat )
Sr=6a²/rac(2) ( fond rhomboïde )
Soit un gain d'env 10%

[Merlin95]

Le résultat ne dépend-il pas de h (qui n'est pas fixé à ma connaissance) ?

[ansset]

faute de frappe visible =a/(2rac(2))

[ansset]

Le résultat ne dépend-il pas de h (qui n'est pas fixé à ma connaissance) ?

si h est la hauteur de l'alvéole, non !
on peut montrer facilement que c'est le "pavage" hexagonal régulier qui propose la config la plus optimale pour la structure globale.
ici, il s'agit de l'optimisation du fond de celle-ci , qui est d'ailleurs commune ( de manière conjointe avec ses voisines ) avec les alvéoles opposées.
il s'agit donc de comparer un fond plat qui resterait hexagonal d'une hauteur x avec un fond "rhomboïde" ( voir le schéma initial ou la vue en coupe des alvéoles sur le lien ) de hauteur 2x au total mais qui représente en fait le même volume.

donc d'une part, ce fond non-plat permet de garder le miel, et de surcroit nécessite un peu moins de surface, dont économie de cire.

Cdt