exercice sur les ensembles

[Mehdi2003]

svp j ai un exercice que je n arrive pas a résoudre :
on considère un ensemble non vide M vérifiant les propriétés suivantes:
- M inclus dans N* et 2018 appartient à M
-si m appartient à M alors tous les diviseurs positifs du nombre m appartiennent aussi à M
-pour tous elements k et m de M tels que k est strictement compris entre 1 et m , le nombre km+1 est aussi un élément de M.
1)prouver que les nombres 1,2,3,4,5 appartient à M ( question facile )
2) montrer que M=N*
c est la deuxième question que je n arrive pas à résoudre j ai essayé la récurrence forte mais je ne sais pas comment démontrer que n+1 appartient à M ( j ai aussi de demontrer que n+1 appartient à M avec la parité mais ca bloque si c est un nombre premier il n a pas de diviseurs excepté 1 et lui même ) aidez moi svp .
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[ansset]

c est la deuxième question que je n arrive pas à résoudre j ai essayé la récurrence forte mais je ne sais pas comment démontrer que n+1 appartient à M ( j ai aussi de demontrer que n+1 appartient à M avec la parité mais ca bloque si c est un nombre premier il n a pas de diviseurs excepté 1 et lui même ) aidez moi svp .

supposons la prop vraie pour tout n <=m ( initialisation faite pour m=5 )
pourquoi ça bloque pour les nb premiers. ceux ci sont impairs. ( sauf 2 )
-si m+1 est impair , m est pair m=2p avec p<m , donc p app à M ( hyp de récurrence ) d'où m+1=2p+1 app à M
mais ceci n'est pas l'ensemble de la démo. ( qui doit inclure les nb pairs aussi )

[Mehdi2003]

svp j ai pas compris la première supposition ( la première ligne ) .pourriez vous me l' expliquer?
oups! j ai commis une grande erreure avec les nombres paires!!!! j ai oublié d ajouter le 1 ce qui me remet à la case départ ��

[ansset]

c'est la formulation de l'initialisation d'une récurrence, tout bêtement.
prenons 7 , premier chiffre impair après 5.
7=2*3+1 ( 3 <=5 ; 2<3 ) 7=km+1 donc app à M.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mehdi2003]

et pour les nombres paires comment faire svp???

[ansset]

pour les pairs, il y a une astuce.

[ansset]

quelle est la parité de p-1 si p est pair ?
ensuite il faut formaliser proprement.

[Mehdi2003]

si n+1 est paire alors n est impaire donc n= 2k-1 avec k appartient à N* et k appartient aussi à M et puisque k est strictement inférieure à n donc 2k+1 appartient à M cad n+2 appartient à M et on refait la même démonstration que le 1er cas. vous trouvez cela logique? j ai de grands doutes la dessus!

[ansset]

c'est juste pas très bien formulé.

[Mehdi2003]

pourriez vous m aider à le reformuler svp?

[ansset]

n pair, donc n-1 est impair.
on a montré que la recurrence fonctionne pour tout les nb impairs.
et n s'écrit n=1(n-1)+1 donc de la forme km+1 avec k<m et m app à M

[Mehdi2003]

je suis désolé mais k est strictement supérieure à 1 donc ce n est pas possible sinon on aurait pu le montrer directement sans passer par la parité

[ansset]

OK, me doutais que ça ne pouvait être si simple.
je reviens.....

[ansset]

bon,
hypothèse de récurrence tout n<=m app à M
( initialisation faite jusqu'à 5 )
vérification faite pour tout nb impair
soit m+1 pair
si m+1 app à M , comme tous les diviseurs de m+1 sont inf à m+1 ils app à M selon l'hypothèse.
soit k(m+1)+1 avec 1<k<m+1
m+1 est pair donc k(m+1) est pair et k(m+1)+1 est impair et app donc à M.

[Merlin95]

comment prouvez vous que 3 appartient à M ?

[Mehdi2003]

on 2018 appartient à M donc 2 appartient à M et 1009 appartient à M. et 2 est strictement comprise entre 1 et 1009 donc 2019 appartient à M et 3 divise 2019 donc 3 appartient à M