Question sur la rédaction d'une démonstration

[Vokaveokovastic]

Bonsoir, je cherche à écrire une démonstration rigoureuse du résultat dit des "fractions égyptiennes" (tout rationnel de l'intervalle ]0,1[ peut s'écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts).

Mon problème c'est qu'au début de la démonstration, je considère un entier rationnel quelconque de ]0,1[. Cet entier s'écrit donc comme cela : avec et dans , et . A partir de cet entier, j'en tire un résultat préliminaire. Est-ce que, pour ensuite finir de démontrer ma propriété par récurrence, je dois poser de nouvelles lettres ? Au départ je voulais écrire de faire une récurrence sur mais comme est un nombre fixé, alors et le sont aussi. En particulier : ne peut être une variable, il faudrait donc que je pose une nouvelle lettre pour désigner le numérateur d'un rationnel pour bien rédiger (et aussi le dénominateur bien sûr).

J'espère que je me suis bien fait comprendre,

Merci.

PS: J'ai compris la démonstration, il s'agit ici uniquement d'un problème de rédaction.
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[gg0]

Bonjour.

Difficile de savoir ce qu'est exactement ta démonstration. Je ne comprends pas le rapport entre "ton résultat préliminaire" et une récurrence ensuite sur m qui n'est pas défini (il l'était dans ton résultat préliminaire).

Donc un peu plus d'explications serait utile. A moins que ta question soit la possibilité d'utiliser la même lettre dans deux démonstrations différentes sans lien entre elles, ce qui ne pose pas problème (il n'y a pas tant de lettres que ça !).

Cordialement.

[Vokaveokovastic]

Merci pour votre réponse, je m’excuse, j'aurais dû mettre plus de contexte que ça. Il ne s'agit pas de l'usage de même lettre dans deux démonstrations indépendantes puisqu'il s'agit de la même propriété.

Voici le début de ma démonstration :

Soit x un rationnel de ]0,1[, x peut donc s’écrire m/n avec (m,n)∈N*xN* et n>m.
Résultat préliminaire On effectue la division euclidienne de n par m : n=qm+r avec donc q∈N* et r∈{0,…,m-1}. Si m divise n, ce qui équivaut à dire que r=0, alors la conclusion est immédiate. Sinon, c’est-à-dire si r≠0, on pourra remarquer que x-(1/(q+1))=(m-r)/((q+1)(qm+r)) avec (q+1)(qm+r)∈N* et surtout (m-r)∈{1,…,m-1}.

Récurrence Soit maintenant l’assertion P(m) : pour tout k de {1,…,m}, k/n peut s’écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts. Montrons P(m) par récurrence ...

Comment trouvez-vous pour l'instant ma rédaction (outre le style, c'est surtout la rigueur de cette dernière qui m'importe). Ce qui me pose problème, c'est la manière dont je rédige mon hypothèse de récurrence : elle dépend de m, or m n'est pas censé être une constante liée au nombre x posé a priori (si on s'autorise à faire varier m, on fait varier x aussi, or x - bien que quelconque - n'est pas censé être un nombre fixé au début et donc que l'on ne peut changer? Ainsi, le problème pour moi n'est pas que m ne soit pas défini, mais plutôt qu'il semble qu'il comme constant) ?

Merci.

[gg0]

Attention,

tu sembles mélanger dans ta tête l'assertion " pour tout k de {1,…,m}, k/n peut s’écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts" que tu as appelée bizarrement P(m) et l'hypothèse de récurrence qui sert à faire la preuve de cette assertion. Ici, pas de problème, m est bien une constante déterminée et l'hypothèse de récurrence est "k/n peut s’écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts".
A moins que P(m) soit bien une hypothèse de récurrence pour la suite, et donc que tu ne démontres pas P(m) par récurrence, mais autre chose.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Vokaveokovastic]

Bonjour,

tu sembles mélanger dans ta tête l'assertion " pour tout k de {1,…,m}, k/n peut s’écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts" [...] et l'hypothèse de récurrence qui sert à faire la preuve de cette assertion.

Oui en effet, ça me semblait bizarre quand je l'ai écrit aussi, j'ai dû surinterpréter une démonstration que j'avais lue où je pensais que les termes "hypothèse de récurrence", outre l'hypothèse en tant que telle, désignaient de manière tacite la formulation de toutes assertions utilisées (oui c'est bizarre). En fait il n'en est rien, excusez-moi.

que tu as appelée bizarrement P(m)

C'est-à-dire bizarrement ? Je ne savais pas comment introduire le P manuscrit normalement utilisé pour désigner la propriété à démontrer par récurrence donc j'ai utilisé cette notation : elle ne va pas ?

Ici, pas de problème, m est bien une constante déterminée et l'hypothèse de récurrence est "k/n peut s’écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts".
A moins que P(m) soit bien une hypothèse de récurrence pour la suite, et donc que tu ne démontres pas P(m) par récurrence, mais autre chose.

P(m) est bien l'assertion que je cherche à démontrer par récurrence. Il s'agit plus particulièrement d'une récurrence forte sur m, mais votre formulation me laisse penser que la récurrence a lieu sur k. En sachant cela, je peux quand même m'autoriser à utiliser m en sachant que c'est une constante fixée a priori au moment de mon résultat préliminaire ? Ne devrais-je pas plutôt déclarer de nouveaux objets à l'intérieur même de mon assertion ?

Merci pour votre aide.

[gg0]

Voilà ce que c'est de copier un bout de preuve, sans même la partie principale. je n'ai pas su quel était le statut de ton p(m), et je ne le sais toujours pas.
Pour le P(m), ce qui était bizarre, c'est que, comme tu l'avais écrit, ça semblait être une notation pour une propriété qui ne dépend pas seulement de m, mais aussi de n.

Bon, inutile d'épiloguer, ta rédaction est incompréhensible (la preuve, je n'ai pas compris ce que tu faisais). A toi de la reprendre correctement. Si tu fais de la récurrence complète sur la valeur de m, alors il ne faut pas fixer x, mais seulement le dénominateur n, et prouver ta propriété (en la citant) par récurrence sur m<n. Et dans ce cas, l'hypothèse de récurrence forte est bien pour tout k de {1,…,m}, k/n peut s’écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts". Avec un m non fixé au départ. Et ce que tu veux prouver n'est pas P(m), mais "pour tout m entre 1 et n-1, P(m)" (ce qu'on démontre par récurrence est toujours de la forme "pour tout ...." d'où mon incompréhension).

Cordialement.

[Vokaveokovastic]

Voilà ce que c'est de copier un bout de preuve, sans même la partie principale. je n'ai pas su quel était le statut de ton p(m), et je ne le sais toujours pas.

En fait je n'ai pour l'instant pas écrit plus que ce j'ai envoyé sur ce topic.

Bon, inutile d'épiloguer, ta rédaction est incompréhensible.

Aïe, je pensais pourtant avoir utilisé un style épuré. Enfin bref, vous n'êtes pas dans ma tête donc avec juste le début d'une démonstration il doit être difficile de deviner où je bug. Je vous propose de finir d'écrire ma démonstration et de l'envoyer sur ce fil. Là j'exposerais les endroits où je pense avoir un problème et vous pourriez alors mieux comprendre.

Merci.

[gg0]

Effectivement.

Et clarifie bien ce qui est propriété générale à démontrer par récurrence et hypothèse de récurrence pour ce faire.

Cordialement.

[Vokaveokovastic]

Bonsoir, j'ai enfin une démonstration plus consistante qui explicite clairement ce que je cherche à montrer. Cependant, j'ai été face à un problème imprévu (je n'arrive pas à montrer que mes dénominateurs peuvent être distincts, lisez ce qui suit vous comprendrez ce que je veux dire par là).

Voici tout ce que j'ai écrit pour le moment :


On cherche à montrer que tout entier rationnel de ]0,1[ peut s'écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts.


On établit tout d'abord un résultat préliminaire que l'on nomme (1) :
Soit un rationnel de ]0,1[, peut donc s'écrire avec et .
On effectue la division euclidienne de par et on note le quotient et le reste : avec donc et .
Supposons que , on peut alors remarquer que : avec et . (1)


Considérons maintenant l'assertion : "fixons dans , pour tout de , peut s'écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts".
Montrons par récurrence :
est clairement vraie. Soit maintenant , supposons vraie et montrons .
Notons le quotient et le reste de la division euclidienne de par . D'après (1) : avec et . Ainsi, peut s'écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts d'après l'hypothèse de récurrence.
Comme , on en déduit que s'écrit comme la somme d'inverses d'entiers naturels.


Je dois normalement finir par montrer que dans ma décomposition en inverses, les dénominateurs sont deux à deux distincts, mais j'ai du mal à aller au plus simple. En soi, je vois bien que d'après le résultat que j'appelle (1), on peut construire un algorithme donnant une décomposition possible mais j'ai du mal à le formaliser.

Ensuite, que pensez-vous de la qualité générale de ma rédaction ? Est-elle toujours "incompréhensible" ou voyez-vous cette fois-ci où je souhaite en venir? Est-ce que je devrais remplacer certains symboles quantificateurs par des mots ?

Enfin et surtout : est-ce que je ne dois pas repréciser dans l'énoncé de mon assertion P(m) que m est un entier naturel non nul et que n>m ? Pour moi non vu que je l'ai déjà fait avant (quand j'expose mon résultat préliminaire je définis normalement m et n). Mais ce qui me pose problème (c'était d'ailleurs la question de base de mon topic) c'est que : vu que je définis m et n par rapport à x, n'y a-t'il aucun problème à fixer tout d'un coup n et faire varier m comme si de rien n'était ?

J'espère que vous avez mieux cerné mes problèmes.

Merci.

[gg0]

Bonsoir.

La seule chose qui me semble à éviter au début est le "soit x", puisque ce x ne sert plus directement ensuite, et que ce x est quelconque. j'aurais écrit "pour tout x rationnel de ]0,1[ il existe deux entiers m et n, avec 0<m<n tels que x=m/n".
Ensuite ta démonstration par récurrence est mal construite, car ta propriété P(m) dépend d'un certain n à fixer. Il vaut mieux fixer n avant et démontrer par récurrence que pour tout m entre 1 et n-1, on a P(m). Où P(m) ne dépend effectivement que de m. Et ce n'est pas P(m) que tu veux démontrer (toujours la confusion entre propriété à prouver et hypothèse de récurrence (*)).
Une fois cela fait, il faut conclure, tu ne l'as pas fait. Quel rapport entre ta récurrence et ce que tu veux prouver ???

Pour ta question sur le statut de m, il peut être utile de redire qui est m, mais comme tu as déjà raté ta présentation en n'écrivant pas ce que tu veux prouver par récurrence (la confusion dont je parlais), rajouter une circonstance à un texte mal foutu ne le rend pas plus clair. N'importe comment, en récurrence, ce sont des entiers qui interviennent.

J'espère que tu cernes mieux tes problèmes.

(*) j'en ai déjà parlé au message #6.

[Vokaveokovastic]

Comme la récurrence forte n'est plus au programme de Tale, je me suis aidé de cette vidéo pour construire mon assertion : https://www.youtube.com/watch?v=nMLB...index=8&t=263s
Peut-être que vous comprendrez mieux d'où sort mon P(m) qui est en fait une autre propriété que celle que je voulais montrer initialement (c'est-à-dire : "tout entier rationnel de ]0,1[ peut s'écrire comme la somme d'inverses d'entiers naturels deux à deux distincts") mais qui l'implique.

Je reprendrai ma démonstration dans quelques heures, merci de prendre de votre temps pour m'aider en tout cas.