Irrationnalité de racine carrée de 10

[invite949a348a]

Bonjour,

J'essaie de montrer que la racine carrée de 10 est un nombre irrationnel, par l'absurde.

Je suppose donc qu'il existe p et q (des entiers non nuls) premiers entre eux tels que sqrt(10) = p/q
sqrt(10) = p/q => 10 = p^2 / q^2 => 10 * q^2 = p^2
Donc 10 divise p^2.

C'est ici que je bloque. Ca m'aiderait bien de prouver l'implication suivante : 10 divise p^2 => 10 divise p (de manière générale montrer que n divise p^2 => n divise p).

Mais j'ai beau chercher, je n'y arrive pas. J'ai essayé la contraposée, l'absurde, mais...je bloque.

Voulez-vous bien détailler cette partie du raisonnement s'il vous plaît?
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[invitedd63ac7a]

C'est ici que je bloque.

Le résultat auquel vous faites allusion demande que n soit premier. Mais 10=5x2 faites le raisonnement avec 5 ...

[gg0]

Bonjour.

la propriété générale " n divise p^2 => n divise p" est fausse, par exemple 4 divise 6², mais 4 ne divise pas 6.
Lemme de Gauss "si n est premier, alors n divise p^2 => n divise p". Donc ici, tu peux remarquer que les nombres premier 2 et 5 divisent p², donc divisent p; comme ils sont premiers entre eux, 2x5 = 10 divise p.

Cordialement.

[invite949a348a]

Merci pour vos réponses !

ggO, il y a juste le "comme ils sont premiers entre eux..." que je ne comprends pas :

Je suppose donc qu'il existe p et q (des entiers non nuls) premiers entre eux tels que sqrt(10) = p/q
sqrt(10) = p/q => 10 = p^2 / q^2 => 10 * q^2 = p^2
Donc 10 divise p^2.
Or 10 = 2 x 5, donc 2 divise p^2 et 5 divise p^2.
D'après le Lemme de Gauss :
- comme 2 divise p^2 alors 2 divise p.
- comme 5 divise p^2 alors 5 divise p.

Arrivé ici, puis-je affirmer que quand deux nombres divisent un troisième nombre, leur produit divise ce troisième nombre ? Peut-être est-ce une propriété triviale, je ne sais pas :/

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

- comme 2 divise p^2 alors 2 divise p.
- comme 5 divise p^2 alors 5 divise p.

Arrivé ici, puis-je affirmer que quand deux nombres divisent un troisième nombre, leur produit divise ce troisième nombre ? Peut-être est-ce une propriété triviale, je ne sais pas :/

Merci

Il fat bien préciser : deux nombres premiers entre eux. 4 et 6 divisent 12 mais 24 ne divise pas 12.