J’ai besoin d’une démonstration

[inviteaa1fc323]

«*le produit d'une somme est égal à la somme des produits*»
On utilise très régulièrement cela pour favoriser développer, ma question est donc comment avons nous pu démontrer cela ?
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[inviteaa1fc323]

Bonjour à tous *

[ansset]

il ne s'agit que de la distributivité de la seconde loi de composition / la première dans tout anneau ( et donc dans tout corps ).
et ici dans le cas particulier de la multiplication et de l'addition ( pour les entiers, les réels, etc... )

[Deedee81]

Salut,

Il est à noter que l'on démontre la distributivité dans toute une série de structures ou alors, le plus souvent, on pose cette distributivité comme un postulat pour la construction des dites structures (un exemple archi connu est donné par les espaces vectoriels). C'est vrai aussi des structures anneau et de corps des entiers, réels. Avec dans ce dernier cas la difficulté d'un héritage historique ancien qui ne s'est pas préoccupé de ça

Une explication que j'ai trouvé intéressante dans ce forum :
https://www.ilemaths.net/sujet-demon...te-629049.html

J'ai vu d'autres discussions de ce type, parfois on fait appel à des constructions géométriques mais grosso modo c'est toujours la même histoire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa1fc323]

Merci beaucoup ça m’eclaire un peu , or es que vous pourriez développer un peu ce que c’est ces structures ? Car je ne vois pas ce que c’est du tout ��

[gg0]

Bonjour.

Tu peux étudier un cours d'algèbre du supérieur, les deux grands cas vus en début du supérieur sont les structures d'anneau et les structures d'espaces vectoriels. Si tu n'as pas accès à ces livres, tu peux taper ces noms sur ton moteur de recherche favori, Wikipédia traite ces deux cas.

Bien entendu, ce sont des notions théoriques, et je ne sais pas quel niveau tu as.

Cordialement.

[inviteaa1fc323]

Bonjour, merci de vôtre de réponse

J’ai un niveau première donc faut-il plutôt que je vois d’autres notions auparavant avant de m’attaquer aux structures en anneaux et espaces vectoriels ? Ou bien je peux d’ors et déjà commencé?

[gg0]

Oui,

tu as intérêt à commencer par la notion de groupe (une seule opération) qui généralise ce qui se passe pour les nombres entiers relatifs (*) avec l'addition, ou les nombres réels (**) non nuls avec la multiplication; ou aussi les vecteurs du plan avec l'addition des vecteurs. Puis tu verras les anneaux (deux opérations) qui généralisent (Z,+,*), la structure algébrique (***) des entiers relatifs avec l'addition et la multiplication. Ensuite tu pourras étudier la notion de corps (des anneaux particuliers), où on retrouve les structures algébriques de (Q,+,*) et (R,+,*) (mais il existe des corps beaucoup plus petits, par exemple un à deux éléments !). Enfin, la notion d'espace vectoriel, où sont condensées les propriétés algébrique de l'ensemble des vecteurs du plan avec leur addition et la multiplication par un scalaire (un nombre).

Mais, pour ta question initiale, tu peux te contenter de la notion d'anneau, où la distributivité est une des propriétés de base.

Cordialement.

(*) ou les décimaux, ou les rationnels, ou les réels.
(**) ou les rationnels
(***) c'est à dire ce qu'on fait avec seulement la ou les opérations

[gg0]

A noter, en lien avec ta question initiale, que la distributivité est une propriété intuitive (décomposition d'un rectangle en 2 par un segment parallèle à un côté et calcul des surfaces) et qu'on cherche plutôt à la conserver quand on généralise les opérations. Coup de chance, ça marche pour les nombres, et on la retrouve même avec les vecteurs (produit par un nombre, produit scalaire, produit vectoriel).
C'est agréable de retrouver toujours la même règle de calcul !

[inviteaa1fc323]

Très bien merci des toutes ces précieuses informations, une dernière question car je commence à m’egarer du thème de la discussion; pour apprendre la notion de groupe que dois je prendre comme livre ; es que sur le livre ça sera écrit «*notion de groupe*» ou bien par exemple, «*théorie des ensembles*»?

[inviteaa1fc323]

Ok très bien merci, oh que oui le fait de retrouver toujours la même règle de calcul simplifie beaucoup de choses

[gg0]

La théorie des ensembles est une théorie de base, dont l'étude peut être reportée. Pour la notion de groupe, la notion intuitive d'ensemble (collection d'objets rassemblés abstraitement) suffit largement. Donc un livre portant sur l'algèbre générale, ou sur la notion de groupes suffit.

Dans un premier temps, tu peux regarder wikipédia et ce cours (voir "le cours sur les groupes" en sautant au départ le chapitre "Ensembles ordonnés et axiome du choix").

Cordialement.

NB : Reviens poser tes questions quand tu auras du mal à comprendre.

[inviteaa1fc323]

Merci beaucoup pour ces informations !
Pas de problème